matrix
.pdf1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1.Матрицы
1.1.1.Определение матрицы. Виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел aij , i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n , расположенных в m строках и n столбцах:
a11
A a21
am1
a12 a1n a22 a2n
.
am2 amn
Числа aij называются элементами матрицы.
Матрица размера 1 n называется матрицей-строкой и имеет вид:
А a1 a2 a3 ...an . Матрица размера m 1 называется матрицей-столбцом и имеет вид:
|
a1 |
|
|
a |
|
В |
2 |
. |
...
am
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов ( m n ), при этом число n называется порядком матрицы.
Пример квадратной матрицы 3-го порядка:
|
|
|
a 1 1 |
a 1 2 |
a 1 3 |
|
A |
|
|
a 2 1 |
a 2 2 |
a 2 3 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
a 3 1 |
a 3 2 |
|
|
|
|
|
a 3 3 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд элементов квадратной матрицы, лежащих на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, – побочной диагональю матрицы. Элементы, стоящие на главной диагонали,
имеют вид aii , i 1,2,...,n .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней)
треугольной.
Пример верхней треугольной матрицы третьего порядка:
4
a11 |
a12 |
|
|
0 |
a22 |
|
||
|
0 |
0 |
|
a13
a23 . a33
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие
выше и ниже главной диагонали, равны нулю ( aij 0 |
при i j ), называется |
|||||
диагональной: |
|
|
|
|
|
|
a11 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
0 |
a22 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
||||
... |
... |
... |
... |
. |
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
ann |
|
Очевидно, что диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:
|
1 |
0 |
0 |
|
|
E |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
. |
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается O .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы совпадают.
1.1.2.Операции над матрицами и их свойства
1.Сложение матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой матриц A aij и |
B bij |
одинаковой раз- |
мерности m n называется матрица C A B , |
элементы |
которой равны |
cij = aij +bij , где i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n . |
|
|
Свойства операции сложения: |
|
|
С в о й с т в о 1 . A B B A. |
|
|
С в о й с т в о 2 . |
A B C A B C . |
С в о й с т в о 3 . |
A O A. |
З а м е ч а н и е . О п е р а ц и ю в ы ч и та н и я м а тр и ц о п р е д е л я е м к а к о б р а тн у ю д л я о п е р а ц и и с л о ж е н и я т . е . A B C , п р и - ч ё м C B A . Та к и м о б р а з о м cij = aij -bij , i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n .
5
2. Умножение матрицы на число
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A на число называется мат-
рица C A, |
элементы которой удовлетворяют равенству: cij aij , где |
i 1,2,..., m ; j |
1,2,...,n . |
Свойства операции умножения на число:
Св о й с т в о 4. A 1 A O .
Св о й с т в о 5. A A .
Св о й с т в о 6. A B A B .
Св о й с т в о 7. A A A .
Св о й с т в о 8. 0 A O ; 1 A A .
За м е ч а н и е. Используя операцию умножения на число, операция вычитания матриц определяется следующим образом A B A 1 B .
ПРИМЕР: Найдите 3А+2В, если
2 1 |
1 |
, |
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
A |
0 1 |
|
B |
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
3 |
3 |
4 |
2 |
0 |
|
2 |
5 |
3 |
||||||
Решение: 3A 2B |
0 |
3 |
12 |
|
|
6 |
4 |
4 |
|
|
6 |
7 |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Умножение матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A размерности (m n) на мат-
рицу B размерности (n k) называется матрица C=AB размерности (m k), элементы которой находятся по формуле:
n |
|
cij aiqbqj ai1b1 j ai2b2 j ainbnj , где i 1,2,..., m ; |
j 1,2,...,k , |
q 1 |
|
т.е. cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на элементы
j–го столбца матрицы B. Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы.
|
|
|
4 |
1 |
||
ПРИМЕР: Найдите АВ, если A 1 2 |
3 , |
B |
|
5 |
2 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Решение: C AB 1 4 2 5 3 6 1 1 2 2 3 3 32 14 ,
размерность матрицы C 1 2 .
Свойства операции умножения:
С в о й с т в о 9. AB C A BC .
6
Св о й с т в о 10. A B C AC BC .
Св о й с т в о 11. A B C AB AC .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются перестановочными (ком-
мутирующими), если AB BA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В общем случае произведение матриц не коммутативно: AB BA. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР: Найдите AB и BA, если A |
3 |
|
, B |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 1 |
2 |
3 |
6 |
|
1 |
2 1 |
2 |
7 |
10 |
|||||
Решение: AB |
|
|
|
14 |
, B A |
|
3 |
|
|
7 |
10 |
. |
|||
3 |
4 1 |
2 |
7 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
Св о й с т в о 12. AE EA A.
Св о й с т в о 13. AO OA O .
4. Транспонирование матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если матрица А имеет размерность m n , то транспо-
нированная матрица AT имеет размерность n m , а её элементы определя-
ются равенством aTji aij .
Иными словами, строки матрицы становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками:
|
a |
a |
a |
|
|
|
a11 |
|
a21 am1 |
|||||
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
a12 |
|
a22 am2 |
||||
|
a |
21 |
a |
a |
|
|
T |
|
|
|||||
A |
|
22 |
|
2n |
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2n |
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
a1n |
|
amn |
|||||||
Например, для |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
2 |
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
A |
5 |
6 |
|
, A |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица A совпадает со своей транспонированной, т.е. AT A , то такая матрица называется симметрической.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица A отличается множителем 1 от своей транспонированной, т.е. AT A , то такая матрица называется кососим-
метрической.
Операция транспонирования имеет следующие свойства:
Свойство 14. AT T A. Свойство 15. A B T AT BT .
7
Свойство 16. AB T BT AT .
1.2.Определители второго, третьего и n-го порядков
1.2.1. Определение определителя 2-го 3-го и n- го порядков
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадратной матрицы
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a12a21 и обозначаемое |
||||||||
11 |
12 |
|
называется число, равное a11a22 |
|||||||||||||
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
d e t |
|
a |
1 1 |
a1 2 |
|
|
a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1 . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a 2 1 |
a 2 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР: |
|
|
|
|
1 4 3 2 2 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем третьего порядка квадратной матрицы
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
||||
A |
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|||
a21 |
называется число, равное |
|
|
|||||||
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|||
|
a31 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
det |
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 .
Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), его можно пояснить следующими схемами, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками.
ПРИМЕР:
1 4 2
0 3 1
2 1 5
1 3 5 4 1 2 2 0 1 2 3 2 1 1 1 4 0 5 20 .
Чтобы дать определение определителя n-го порядка нужно ввести некоторые новые понятия.
8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановкой из n чисел 1,2,…, n называется всякое расположение этих чисел в определённом порядке. Число перестановок из n чисел равно n!.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа i, j составляют инверсионную пару в перестановке, если i>j, но i встречается в перестановке раньше, чем j.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановка называется чётной, если число инверсионных пар чётно, и нечётной, если - нечётно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование перестановки, при котором меняются местами два символа, называется транспозицией.
Теорема. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
Две перестановки, записанные другом под другом, образуют подстановку. Канонической подстановкой называется подстановка вида
1 |
2 |
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
1 |
3 n |
Число инверсионных пар в обеих перестановках, образующих подстановку, определяет чётность подстановки. Справедливо утверждение: транспозиция не изменяет четности подстановки.
Введённые выше понятия позволяют дать определение определителя любого порядка в общем виде:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём слагаемое входит со знаком плюс, если подстановка, образованная индексами элементов матрицы чётная и со знаком минус – если нечётная. Согласно этому определению определитель n-го порядка записывается в виде
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
1 s a1 1a2 2 an n , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
ann |
|
|
|
|
где s - чётность подстановки |
1 |
2 |
|
3 n |
|||
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
1 |
|
3 n |
1.2.2 Свойства определителей
Перечислим свойства определителей для определителей n -го порядка.
Для наглядности эти свойства проиллюстрированы на примерах определителей третьего порядка.
9
Св о й с т в о 1 . Определитель матрицы А не меняется при ее транспонировании: AT A .
Св о й с т в о 2 . При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например,
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
Св о й с т в о 3 . Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Св о й с т в о 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
k a11 |
a12 |
a1 3 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
k a 2 1 |
a 22 |
a 23 |
k |
a 21 |
a 22 |
a2 3 |
, k co n st . |
k a3 1 |
a3 2 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a3 3 |
|
Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на это число.
С в о й с т в о 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю. Например
a11 |
a12 |
a13 |
0 |
0 |
0 0 |
.
a31 a32 a33
Св о й с т в о 6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Св о й с т в о 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Например
|
|
|
a/ |
a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
11 |
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
||
|
|
|
a/ |
a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
21 |
21 |
22 |
23 |
|
21 |
22 |
23 |
|
21 |
22 |
23 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
a/ |
a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
31 |
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
|
С в о й с т в о 8 . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится.
Например
10
a11 |
k a12 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
k a22 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
. |
a31 |
k a32 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
З а м е ч а н и е : п ользуясь свойством 8, можно, не меняя величину определителя, все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю.
С в о й с т в о 9 . Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором Mij элемента aij квадратной матрицы А называ-
ется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
ПРИМЕР: Найдите минор M22 элемента a22 матрицы 3-го порядка
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
a |
a |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
23 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
Решение: M 22 |
|
|
a11 |
a13 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадрат-
ной матрицы А называется минор Mij этого элемента со знаком (–1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент
|
|
|
|
|
Aij 1 i j Mij . |
|
|
|
|||||
ПРИМЕР: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
3 |
|
12, A22 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
5 |
6 |
|
: M22 |
|
|
M22 |
12 . |
||||
|
|
|
|||||||||||
Для матрицы |
|
7 |
9 |
|
|
||||||||
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Те орема . Определитель численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения
n
det A A aik Aik ai1Ai1 ai2 Ai2 ...ain Ain ,i 1,2,...,n .
k 1
Для определителя 3-го порядка это разложение имеет вид
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
A |
|
a21 |
a22 |
a23 |
ai1 Ai1 ai2Ai2 ai3Ai3, i 1, 2, 3. |
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
11
При разложении по элементам первой строки для определителя 3 –го порядка имеем,
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a22 |
a23 |
|
a21 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
a |
a |
a |
a |
a |
a |
||||||
|
|
|
21 |
22 |
23 |
11 |
a |
a |
12 |
a |
a |
13 |
a |
a |
|
||||||||||||||
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
32 |
33 |
|
31 |
33 |
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР:
Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой строки:
2 |
0 |
5 |
|
3 |
16 |
|
1 |
16 |
|
1 |
3 |
|
30 16 5 1 92 5 87. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
3 |
16 |
2 |
0 |
5 |
2 |
||||||||
1 |
10 |
0 |
10 |
0 |
1 |
|||||||||
0 |
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В к а ч е с тв е с л е д с т в и я и з п р и ве д ё н н о й вы ш е те о р е м ы п о л у ч а - е м с л е д у ю щ е е с в о й с т в о :
С в о й с т в о 10. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
1.2.3 Методы вычисления определителей произвольного порядка
Методы вычисления определителей n-го порядка основаны на рассмотренных выше свойствах определителей, справедливых для определителей любого порядка: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.
Тем самым определитель n-го порядка мы выражаем через определители (n-1)- го порядка, те – через определители (n-2)-го порядка, и т.д., пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядка, правила вычисления для которых заданы.
1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):
n
det A A aik Aik ai1 Ai1 ai2 Ai2 ...ain Ain .
k 1
ПРИМЕР. Вычислим определитель 4-го порядка
2 1 0 1
0 1 1 2
A
3 1 3 2
3 1 1 6
методом понижения порядка.
12
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 1 |
2 |
|
|
|
2 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 1 1 2 |
|
|
0 1 2 |
|
0 1 1 3 |
|
0 1 |
2 |
|
1 1 1 4 |
|
0 1 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 2 |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
6 |
|
1 1 |
|
|
1 |
6 |
2 1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 2 |
|
|
|
|
|
2 1 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 1 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 1 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 16 8 8 12 12 6 6 0.
Вычисления можно упростить, преобразовав определитель так, чтобы в строке или столбце было как можно больше нулевых элементов. Приведем определитель к виду, в котором a11 1 , а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого переставим первый и четвертый столбцы, при этом определитель изменит знак. Обозначим строки определителя через 1, 2 , 3 , 4 и обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках
с помощью |
следующих |
|
преобразований |
строк: 2 2 1, |
3 2 1 , |
|||||||||||||||||
4 6 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
3 |
1 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
1 |
. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
3 |
2 |
|
|
0 |
1 |
3 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
9 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
6 |
|
|
|
0 |
7 |
1 |
9 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученном определителе третьего порядка переставим первую и вторую строки (определитель сменит знак) и вычтем из новых второй и третьей строки
первую, умноженную, соответственно, на 3 и 7:
13