Изучение квадратичных форм закончено.

Рис. 2.35. Графические образы различных квадратичных форм.

6.8. Ранг матрицы

Как известно, рангом прямоугольной матрицы называется наибольший порядок неравного нулю определителя (из всех возможных вырезок определителей из данной матрицы. Для вычисления ранга используется функция rank (идентификатор_матрицы)

Рассмотрите пример вычисления ранга матриц:

§7. Некоторые применения матриц и векторов

7.1. Нахождение всех корней уравнения n-й степени

Согласно Основной теореме алгебры (Нильс Хенрик Абель) уравнение n-й степени имеет n корней. Среди них могут быть действительные и комплексные. Каждый комплексный корень обязательно имеет свою пару – сопряженный корень, у которого такая же вещественная часть, а мнимая имеет противоположный знак. Для нахождения всех корней используется встроенная Mathcad-функция polyroots( ) (переводится «много корней»). Научимся пользоваться этой очень полезной функцией.

ДАНО: уравнение n-й степени:

a0 y n + a1 y n−1 + a2 yn−2 +... + an−1 y + an = 0 , (n+1) его коэффициентов ai, i = 0, …, n–1 заданы.

ПОЛУЧИТЬ: все корни yi, i = 1, …, n, удовлетворяющие заданному уравнению.

54

Способ решения: Сформируем (n+1)-мерный вектор, элементами которого являются коэффициенты уравнения. Важное замечание: если в уравнении отсутствуют некоторые промежуточные степени переменной, в соответствующий слот вектора следует вставить 0. Порядок ввода коэффициентов – с «конца» уравнения к началу, так что нулевому элементу вектора нужно присвоить значение an, а n-му – значение a0. Идентификатор этого вектора и будет аргументом функции polyroots( ).

Пример показан на рис. 2.36. Выполните его по шагам и обязательно сделайте про-

верку. Вы увидите небольшие вычислительные неточности (это и не удивительно: выразить корни через коэффициенты уравнения можно точно только в том случае, когда его порядок

– не выше четвертого: этот результат получил юный гений Эварист Галуа в 21 год, за сутки до дуэли, на которой он был убит).

Уравнение, корни которого нужно найти:

7 y7 + 3 y4 − 5y + 17 0

Рис. 2.36. Использование функции polyroots(…) для нахождения корней уравнения.

55

7.2. Применение матриц и векторов для решения систем линейных уравнений

7.2.1. Теоретические сведения. Традиционно решение систем линейных уравнений рассматривается в терминах матричной алгебры. Пусть задана система из n линейных уравнений. Коэффициенты этих уравнений – не обязательно постоянные, они могут зависеть от какоголибо внешнего параметра (на практике чаще всего – от времени), но не должны зависеть от искомых переменных (в этом случае уравнения были бы нелинейными).

Система уравнений, записанная в обычной форме, имеет вид: a11(t) x1+a12 (t) x2+L+ a1n (t) xn = b1(t)

a21(t) x1+a22 (t) x2 +L+ a2n (t) xn = b2 (t)

LLLLLLLLLLLLLLL

an1(t) x1+an2 (t) x2 +L+ ann (t) xn = bn (t)

Здесь t – некоторый параметр, от которого зависят коэффициенты уравнения.

Сформируем квадратную n×n матрицу из коэффициентов левой части и n-мерный вектор из значений bi(t), i = 1, … , n, входящих в правую часть. Эти матрицы будут иметь вид:

Согласно правилам матричной алгебры решение системы линейных уравнений для случая, когда правая часть – не нулевой вектор, возможно тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен 0 ни для одного значения параметра t из диапазона, на котором он задан. В этом случае решение будет n-мерным вектором, зависящим от параметра t:

x(t) =[A(t)]−1 B(t). Как видим, для получения решения используются следующие матричные операции:

Обращение квадратной матрицы;

Умножение матрицы на вектор;

Диагностика отличия определителя матрицы от 0 (для установления существования решения).

7.2.2.Пример. Найдем значения двумерного вектора x(t) при изменении параметра t в диапазоне 0,…,5 с шагом 0.01. Пусть каждый элемент матрицы A(t) – экспонента с заданным показателем степени, а каж-

56

дый элемент вектора B(t) – синусоидальная функция. Решение показано на рис. 2.37, 2.38. Воспроизведите его. Попутно Вы научитесь делать массовые операции над всеми элементами матриц (рис. 2.37).

7.2.2.1. Векторизация. Термин «векторизация» означает применение

одной и той же функции тотально ко всем элементам матрицы. Этот прием часто экономит время и при вводе, и при вычислениях за счет параллельных действий над всеми элементами матрицы сразу. Освоим технику векторизации на примере, показанном на рис. 2.37, 2.38 Для того чтобы над всеми элементами матрицы выполнялась одна и та же операция, нужно:

1.Ввести матрицу с постоянными элементами, которые будут использоваться как коэффициенты в формулах для операций с матрицей;

2.Ввести идентификатор матрицы с указанием ее зависимости от параметра (можно – тот же, что и для матрицы коэффициентов), присвоить ему значение функции, которую мы хотим применить ко всем элементам матрицы.

3.Результат охватить синим контуром и нажать клавиши <Ctrl>+<(минус)>. Над функцией появится горизонтальная стрелка – символ векторизации.

Изучение операции векторизации закончено.

Рис. 2.37. Векторизация матриц и векторов.

57