Векторы на плоскости Определение вектора

Рассмотрим на плоскости две точки A и B. Обозначим черезвектор AB,понимая под этим направленный отрезок AB, т. е. отрезок, у которого точка A является началом, а точка B -- концом . Таким образом, точки A и B, ограничивающие вектор, играют различную роль. Именно в этом в первую очередь и состоит главное различие между вектороми отрезком AB. Две точки A и B плоскости задают два различных вектораиодинаковой длины и противоположно направленные.

Сложение векторов

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль векторапонимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора и. Приложим векторк некоторой точке, получим. Приложим векторк точке, получим. Тогда векторбудем называтьсуммойвекторов:.

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки .

Приложим вектор к другой точке, получим. Приложим векторк точке, получим.

Рассмотрим направленные отрезки и. Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку— параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора на числоназывается вектор, который:

1. коллинеарен вектору ;

2. сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если;

3. длины связаны следующим соотношением: .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального .

Свойства линейных операций

Коммутативность сложения векторов

Ассоциативность сложения векторов

Сложение векторов коммутативно: .

Сложение векторов ассоциативно: .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: . Очевидно,.

Для любого вектора существует вектортакой, чтоили.

Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:.

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков и, в каждом случае утверждение очевидно.

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: . Это следует из подобия треугольниковина рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .

Примечание

В алгебре изучаются так называемые алгебраические структуры. Это множества математических объектов, для которых определены некоторые операции, удовлетворяющие некоторым системам аксиом.

Пример такой структуры, изучаемой в линейной алгебре, — так называемое векторное (линейное) пространство. Это множество векторов, для которых определены операции сложения и умножения на элементы некоторого поля (например, поля вещественных чисел), причем эти операции удовлетворяют указанным выше свойствам.

В линейной алгебре изучаются общие свойства таких множеств, их элементы (их называют абстрактными векторами) не обязаны быть геометрическими векторами (хотя чаще всего именно их приводят в качестве наглядного примера).

В аналитической геометрии векторы нужны, в первую очередь для введения системы координат (см. ниже). Благодаря этому удается описать геометрические фигуры при помощи аналитических формул.