Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.

Как известно решение матричного уравнения записывается в виде: . Согласно правилу умножения матриц имеемОтсюда,i = 1, 2, …, n.Запишем короче:,i = 1, 2, …, n,где– определитель системы;– определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой еёi-го столбца столбцом свободных членов. Из самого способа решения ясно, что система имеет единственное решение. Пример.Системаимеет определительотличный от нуля, поэтому имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:,, где,, т.е.,.

10 билет

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы,и— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице:

Так как , получаем. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) являетсяневырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: системаимеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит названиеальтернативы Фредгольма.

11 билет

Ме́тод Га́усса^[1]— классический метод решениясистемы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ). Это метод последовательного исключенияпеременных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица называется основной матрицей системы,— столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразованийнад строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор(ненулевойминормаксимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных^[3].

Тогда переменные называютсяглавными переменными. Все остальные называютсясвободными.

Если хотя бы одно число , где, то рассматриваемая системанесовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где— номер строки):

, где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путёмэлементарных преобразованийнад исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

12 билет

Однородные системы линейных уравнений

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерностиn - r; - базис этого подпространства.

13 билет

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ

линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - базис векторного пространства действительных (комплексных) решений этой системы. (Система может состоять и из одного уравнения.) Более подробно это определение формулируется следующим образом. Множество действительных (комплексных) решений {x₁(t),...,x_n(t)}(заданных на нек-ром множестве Е)линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы уравнений (на множестве Е) при выполнении совокупности следующих двух условий: 1) если действительные (комплексные) числа С ₁,..., С _n таковы, что функция C₁x₁(t)+...+C_nx_n(t) тождественно равна нулю на Е, то все числа С ₁,..., С _n равны нулю; 2) для всякого действительного (комплексного) решения х(t)рассматриваемой системы уравнений найдутся действительные (соответственно комплексные) числа С ₁,..., С _n (не зависящие от t)такие, что x(t) = C₁x₁(t)+...+C_nx_n(t) при всех Если-произвольная невырожденная-матрица, а {x₁(t), ..., х _п(t)}есть Ф. с. р., то также есть Ф. с. р.; всякая Ф. <с. <р. получается таким преобразованием из данной Ф. с. р. Если система дифференциальных уравнений имеет вид

где (илиа(соответственнопричем отображениесуммируемо на каждом отрезке, содержащемся в- конечный или бесконечный интервал вто векторное пространство решений этой системы изоморфно(соответственноСледовательно, система (1) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из пре шений. Напр., для системы уравненийпроизвольная Ф. с. р. имеет вид

где -произвольные линейно независимые векторы-столбцы. Всякая Ф. с. р. системы (1) имеет вид

где -Коши оператор системы (1), - произвольное фиксированное число из интервалаа x₁, . . ., х _п - произвольный фиксированный базис пространства (соответственноЕсли система дифференциальных уравнений состоит из одного уравнения

где функции суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в(где- конечный или бесконечный интервал вто векторное пространство решений этого уравнения изоморфно(соответственноСледовательно, уравнение (2) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая из них состоит из kрешений. Напр., уравнениеимеет Ф. с. р.общее действительное решение этого уравнения дается формулойгде C₁, С₂ - произвольные действительные постоянные. Если система дифференциальных уравнений имеет вид

где (или) и при всяком i = l, ..., k-1 отображение

суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в (где-конечный или бесконечный интервал вто пространство решений этой системы уравнений изоморфно(соответственноФ. с. р. системы (3) существуют, и каждая из них состоит изkn решений. Для линейных однородных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных, даже если коэффициенты системы постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. размерность векторного пространства решений), вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведенных случаях. (В [1], з 11 рассмотрено такое вычисление для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не разрешенных относительно старших производных.)

14 билет