Конденсатор в цепи переменного тока
Положим теперь, что участок цепи содержит конденсатор емкости C, причем сопротивлением и индуктивностью участка можно прене-бречь, и посмотрим, по какому закону
будет изменяться напряжение на концах участка в этом случае. Обозначим напряжение между точками а и b через u и будем считать заряд конденсатора q и силу тока i положительными, если они соответствуют рис.П4.4. Тогда
|
|
|
u = |
q |
, |
i = dq |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и, следовательно, |
|
|
|
C |
|
dt |
|
|
|
|
|
q = òidt . |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Если сила тока в цепи изменяется по закону |
||||||||
|
|
|
i = Im cos wt , |
(П4.1) |
||||
то заряд конденсатора равен |
|
|
|
|||||
q = |
ò |
I cos wtdt = |
Im |
sin wt + q . |
||||
|
||||||||
|
m |
|
|
|
w |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Постоянная интегрирования |
|
q0 |
здесь обозначает |
|||||
произвольный постоянный |
заряд |
конденсатора, не |
||||||
связанный с колебаниями тока, и |
|
поэтому |
мы положим |
||||||||||||||
q0 = 0 . Следовательно, |
|
|
|
|
i |
|
C |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I |
m |
|
æ |
p ö |
|
|
|
|
|
+ |
|
– |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u = |
|
|
cosçwt - |
÷ . |
(П4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||||
Сравнивая (П4.1) и (П4.2), мы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
видим, |
|
что |
при |
Рис.П4.4. Конденсатор в цепи |
|||||||||||||
синусоидальных |
колебаниях |
|
|
|
|
|
|
переменного тока |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
тока в цепи напряжение на конденсаторе изменяется также по закону косинуса. Однако колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на π/2.
Изменения тока и напряжения во времени изображены графически на рис.П4.5. Полученный результат имеет простой физический смысл. Напряжение на конденсаторе в какой-либо момент времени определяется существующим зарядом конденсатора. Но этот заряд был образован током,
протекавшим предварительно в более ранней стадии колебаний. Поэтому и колебания напряжения запаздывают относительно колебаний тока.
Формула (П4.2) показывает, что амплитуда напряжения на
конденсаторе равна
|
Um = |
|
1 |
|
Im . |
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
||
Сравнивая это выражение с законом Ома для участка цепи с |
|||||||||
постоянным током ( u = iR ), мы видим, что величина |
|
||||||||
|
XC |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
||
играет роль сопротивления участка цепи, она получила |
|||||||||
название |
емкостного |
сопротивления. |
Емкостное |
||||||
сопротивление зависит от |
частоты |
ω, и при высоких |
|||||||
u, i |
u |
|
|
|
частотах |
даже |
малые |
||
|
|
|
|
емкости |
могут |
представ- |
|||
|
i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
лять |
совсем |
небольшое |
|||
|
|
t |
|
|
сопротивление |
для |
пере- |
||
|
|
|
|
менного |
тока. |
Важно |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
отметить, что емкост- |
||||
Рис.П4.5. Зависимости тока |
|
|
ное сопротивление опреде- |
||||||
|
|
ляет связь между ампли- |
|||||||
через конденсатор и |
|
|
|
||||||
|
|
|
тудными, |
а не мгновен- |
|||||
напряжения от времени |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ными значениями тока и напряжения.
Мгновенная мощность переменного тока
P = iu = ImUm sin ωt cosωt = 12 ImUm sin 2ωt
меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. В течение времени от 0 до T/4 мощность положительна, а в следующую четверть периода
ток и напряжение имеют противоположные знаки и мощность становится отрицательной. Поскольку среднее значение за период колебаний величины sin 2ωt равно нулю, то средняя мощность переменного тока на конденсаторе Pср = 0 .
Катушка индуктивности в цепи переменного тока
Рассмотрим, наконец, частный случай, когда участок цепи содержит только индуктивность. Обозначим по-прежнему через u напряжение между точками а и b и будем считать ток i положительным, если он направлен от а к b (рис.П4.6).
При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникнет ЭДС самоиндукции, и поэтому мы должны применить закон Ома для участка цепи, содержащего эту ЭДС:
u= iR − E.
Внашем случае R = 0, а
ЭДС самоиндукции
E = −L dtdi .
Поэтому
i L
u
a |
b |
Рис.П4.6. Катушка
индуктивности в цепи переменного тока
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
|
u = L di . |
|
|
|
|
(П4.3) |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Если сила тока в цепи изменяется по закону |
|
|
|
||||||
то |
|
i = Im cosωt , |
|
|
|
|
|
||
u = −ImωLsin ωt = ImωL cos(ωt + π / 2). |
|
|
(П4.4) |
||||||
|
|
|
|||||||
Видно, что колебания напряжения на индуктивности |
|||||||||
опережают по фазе колебания тока на π/2. Когда сила тока, |
|||||||||
u, i |
|
|
|
возрастая, |
проходит |
|
через |
||
|
|
|
нуль, |
напряжение |
|
уже |
|||
i |
|
|
|
достигает максимума, |
после |
||||
|
|
|
|
чего начинает уменьшаться; |
|||||
|
|
|
t |
когда |
сила |
тока |
становится |
||
u |
|
|
|
максимальной, |
напряжение |
||||
|
|
|
|
проходит через нуль, и т.д. |
|||||
Рис.П4.7. Зависимости тока |
(рис.П4.7). |
|
|
|
|
||||
через катушку |
|
Из (П4.4) следует, что |
|||||||
индуктивности и напряжения |
амплитуда |
|
напряжения |
||||||
|
от времени |
|
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m = ImωL , |
|
|
||
и, следовательно, величина |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X L = ωL |
|
|
|
|
|
|
играет ту же роль, что сопротивление участка цепи. |
|||||||||
Поэтому |
X L |
называют |
индуктивным |
сопротивлением. |
|||||
Индуктивное |
сопротивление |
пропорционально |
частоте |
||||||
переменного тока, и поэтому при очень больших частотах |
|||||||||
даже |
малые |
индуктивности |
могут |
представлять |
|||||
значительное сопротивление для переменных токов. |
|
|
|||||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Мгновенная мощность переменного тока
P = iu = −ImUm sin ωt cosωt = − 12 ImUm sin 2ωt
так же, как и в случае идеальной емкости, меняется со
временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. Очевидно, что средняя за период мощность равна нулю.
Таким образом, при протекании переменного тока через
идеальные емкость и индуктивность обнаруживается ряд общих закономерностей:
∙колебания тока и напряжения происходят в различных фазах - сдвиг по фазе между этими колебаниями равен π/2;
∙амплитуда переменного напряжения на емкости (индуктивности) пропорциональна амплитуде
протекающего через этот элемент переменного тока
Um = XIm ,
где X - реактивное (емкостное или индуктивное) сопротивление. Важно иметь в виду, что это
сопротивление связывает между собой не мгновенные значения тока и напряжения, а только их максимальные значения. Реактивное сопротивление отличается от омического (резистивного) сопротивления еще и тем, что оно зависит от частоты переменного тока;
∙на реактивном сопротивлении не рассеивается мощность (в среднем за период колебаний), это означает, что, например, через конденсатор может
протекать переменный ток очень большой амплитуды, но тепловыделение на конденсаторе будет отсутствовать. Это является следствием
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com