4. Построение графиков функций

№ п/п

Пример ПП 16

4. Построение графиков функций

№19

Исследуйте функцию и постройте её график.

1. Функция определена при всех . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения и; получаем, что осьпересекается в точке с, а ось- в точкахи.

2. Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. ,

При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение

3. Находим производную: . Знак производной определяется знаком выражения . Видим, что в области, прии при. Получаем, что в областифункция убывает, при- возрастает и при- убывает. Находим критические точки.при,не существует при,. При переходе череззнак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. Припроизводная не существует, значит, минимум острый.При переходе через вторую критическую точкупроизводная меняет знак с (+) на (-) , т.е. при- максимум: . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет.

4) Находим вторую производную:. Видим, чтопри; в этой области график выпуклый;при, т.е. интервалтакже является областью выпуклости. При, следовательно, приграфик вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует прии при. При переходе через первую точку знакне меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами,.

№ п/п

Пример ПП 16

5. Определение скорости возрастания и убывания функций

№20

Какая из функций илирастет быстрее при больших?

При функциярастет быстрее, так как, а.

Определим, начиная с каких значений аргументастановится больше.

Рассмотрим при.,при, функциявозрастает, значит,, т.е. функциярастет быстрее, начиная с.

№ п/п

Пример ПП 16

6. Доказательство неравенств с помощью производной

№21

Докажите неравенство: при.

Рассмотрим . Докажем, чтопри, т.е. что эта функция является возрастающей., т.к., значит,, если. Это доказывает неравенство в случае строгого возрастания аргумента.