3. Комплексные функции действительной переменной

ПП 17.

1. Комплексные числа

№ п/п

Задание

Ответ

ПП №17.1

Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:

.

.

ПП №17.2

Вычислите

Решение:

.

ПП №17.3

Вычислите

Решение:

ПП №17.4

Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:

.

ПП №17.5

Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:

.

ПП №17.6

Найдите и для числа .

Решение:

,, .

ПП №17.7

Запишите число в различных формах. Дайте геометрическую интерпретацию.

Решение:

Алгебраическая форма: ;

тригонометрическая форма: ; ,

откуда ,

;

показательная форма: .

, .

ПП №17.8

Найдите модули и аргументы комплексных чисел:

1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1) ; ; ;

2) ; ; ;

3); ; .

ПП №17.9

Запишите комплексные числа

1) ; 2) ; 3)

в тригонометрической и показательной форме:

Решение:

1) ;

2) ;

3) .

ПП №17.10

Найдите , если .

Решение:

(расположено в IV квадранте).

Тогда .

.

.

ПП №17.11

Вычислите .

Решение:

Представим число в тригонометрической форме: .

Тогда по формуле Муавра:

64

ПП №17.12

Вычислите и изобразите на комплексной плоскости .

Решение:

Запишем число в показательной форме: ;

.

.

, , , .

получен из корня поворотом на против часовой стрелки, из поворотом на и т.д.

ПП №17.13

Вычислите ; изобразите схематично значения корня на комплексной плоскости.

Решение:

;

. Начальный аргумент при равен .

Значения корня:

,

.

Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шестиугольника на окружности радиусом .

ПП №17.14

Найдите все значения и постройте их на комплексной плоскости.

Решение:

Представим число в тригонометрической форме.

, .

.

.

.

При ,

,

.

ПП №17.15

Найдите все значения корня .

Решение:

где . , , ,

, и т.д.

ПП №17.16

Вычислите .

Решение:

где .

- угол I четверти.

, , , .

ПП №17.17

Вычислите, найдите модуль, аргумент и постройте на комплексной

плоскости число .

Решение:

1)

,

.

Для правильного отыскания аргумента рекомендуется изобразить это число на комплексной плоскости.

; ;

2) (3 радиана, так как 1 радиан);

3) ;

4) ;

5)

Вычислим модуль и аргумент полученного числа: ,.

.

ПП №17.18

Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:

Решение: Запишем в алгебраической форме , тогда из условия: .

Искомое множество – нижняя половина кольца с внутренним радиусом и внешним .

ПП №17.19

Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению

Решение:

,

.

Искомое множество состоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты .

ПП №17.20

Какие геометрические образы определяются условиями ?

. (см. рисунок).

ПП №17.21

Какие геометрические образы определяются условиями ?

. (см. рисунок).

ПП №17.22

Какие геометрические образы определяются условиями ?

. (см. рисунок).

ПП №17.23

Какие геометрические образы определяются условиями ?

. (см. рисунок).

ПП №17.24

Какие геометрические образы определяются условиями ?

(см. рисунок).

ПП №17.25

Дайте геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям: .

ПП 17.

2. Многочлены в комплексной области

№ п/п

Задание

Ответ

ПП №17.26

Проверьте, что является корнем многочлена и найдите другие корни многочлена.

Решение:

Так как , то является корнем многочлена и многочлен делится на без остатка.

Для отыскания других корней многочлена решим уравнение : Итак, многочлен имеет один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня ,

ПП №17.27

Разложите на множители

Решение:

- корень кратности 3.

ПП №17.28

Разложите на множители .

Решение:

, -действительный корень, у квадратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней: , .

ПП №17.29

Разложите на множители многочлен .

Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим комплексные корни: , , где

Корни многочлена: .

Пары и – сопряженные: объединим сомножители попарно:

, =, .

Аналогично, .

Тогда .

ПП №17.30

Решите уравнение .

Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая , получим:

ПП №17.31

Решите биквадратное уравнение .

Решение:

.

; .

ПП №17.32

Решите уравнение .

Решение:

Введём подстановку . Получим квадратное уравнение . По теореме Виета корни квадратного уравнения , и исходное уравнение распадается на два более простых уравнения и , решения которых и дадут в совокупности все решения данного уравнения. Если , то .

В тригонометрической форме , поэтому , или , .

При .

При .

При . Если , то .

В тригонометрической форме , поэтому , .

При .

При .

При

ПП №17.33

Решите уравнение .

По формуле корней квадратного уравнения

.

Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим

Возводим обе части в квадрат и находим , откуда ; .

Эта система имеет решения: поэтому

ПП 17.

3. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

№ п/п

Задание

Ответ

ПП №17.34

Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если .

Решение:

, ; , . .

Прямая ;

ПП №17.35

Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если .

Решение:

, – параметрические уравнения циклоиды. .

Арка циклоиды

ПП №17.36

Для заданной функции найдите линейную комбинацию производных _.

Решение:

. Вычислим необходимую комбинацию производных для каждого слагаемого в скобках:

Вычислим сумму:

Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если .

Решение:

, . Исключаем параметр: – уравнение эллипса.

.

Эллипс