Пп 26 однородные и неоднородные дифференциальные уравнения (олду и нлду) с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения

Вид общего решения

1. -

действительные, разные.

2. -

действительные, равные, кратность 2.

3. -

комплексные.

4.

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 26

1. Решение ОЛДУ второго порядка

Ответ

№ 1

Найдите решение ОЛДУ .

Решение: .

№ 2

Найдите решение ОЛДУ .

Решение:

№ 3

Найдите решение ОЛДУ .

Решение: ,.

Корни характеристического уравнения

Вклад указанных корней в общее решение ДУ

1. Действительные, разные

2. Действительные, кратности

3. Комплексные, разные

4. Комплексные, кратности

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 26

2. Решение ОЛДУ n-го порядка с постоянными

коэффициентами

Ответ

№ 3

Решите уравнение .

Решение: Характеристическое уравнение: , откуда,.

Частные решения имеют вид:

, .

Общее решение имеет вид: .

Корни характеристического уравнения

Вид

1.

а) 0 – не корень

б) 0 – корень кратности r (r =1,2)

2.

а) – не корень

б) – корень кратностиr (r =1,2)

3.

а) – не корень

б) – корень

4.

а) – не корень

б) – корень

,

,

.

5.

а) – не корень

б) – корень кратностиr (r =1,2)

,

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 26

3. Решение НЛДУ второго порядка

с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов

Ответ

№ 4

Найдите решение НЛДУ .

Решение:

1) Находим общее решение соответствующее однородного уравнения.

ОЛДУ .

Ищем решение в виде .

Подстановка в уравнение дает характеристическое уравнение для k:

,

корни характеристического уравнения ,

фундаментальная система решений однородного уравнения ,;

общее решение однородного уравнения является их линейной комбинацией.

2) Находим частное решение исходного неоднородного уравненияметодом неопределенных коэффициентов.

Правая часть уравнения имеет вид , характеристическое число для правой частии

не совпадает с корнями характеристического уравнения и,

частное решение ищем в виде ,

где А неизвестный коэффициент, .

Подстановка ив уравнение дает:, откуда,

частное решение НЛДУ: .

3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения:

.

№ 5

Решите ДУ , если.

Решение: 1) ОЛДУ и.

2)

, .

.

откуда и.

3) ,

.

4) При ,

.

Частное решение НЛДУ имеет вид: .

№ 6

Решите уравнение .

Решение: 1) ,,,.

2) :.

;

;

;

;

3) .

№ 7

Найдите решение НЛДУ .

Решение: 1) ..

.

2) является корнем характеристического уравнения:

,

, .

Подстановка в уравнение дает:

,

откуда

, .

3) .

№ 8

Найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Решение: НЛДУ - 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

1) ..

,

, ,;

.

2) Правая часть уравнения имеет вид , характеристическое число для правой частии совпадает с корнем характеристического уравнениякратности 1, частное решение ищем в виде

.

Для определения неизвестных коэффициентов А, В, С подставляем решение и

, ,

в исходное уравнение:

.

Группируем члены в левой части по степеням х: .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

.

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения

=

.

№ 9

Найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. ,

, ,.

Общее решение однородного уравнения:

.

2) Находим частное решение неоднородного уравнения.

Поскольку характеристическое число для правой части совпадает с решением характеристического уравнения= 2 кратности 1, частное решение ищем в виде:

.

,

,

.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем систему линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов:

.

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид .

3) Общее решение исходного неоднородного уравнения:

=.

№ 10

Найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Решение: 1) Находим общее решение неоднородного уравнения.

,

- действительный корень кратности 2. .

2) Находим частное решение неоднородного уравнения.

Правая часть уравнения: .

Характеристическое число для правой части является комплексным, , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения.

Частное решение ищем в виде:

.

Подставим в уравнение функцию и

,

:

.

Приравняем коэффициенты при и:

,.

Частное решение :

.

3) Общее решение неоднородного уравнения: =.