ПП_5_3_Ряды_Фурье

ПП5.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

5.3.1.Гармонический анализ. Основные положения

Гармоническим колебанием называется периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса.

Основной гармоникой называется простейшая периодическая функция вида y = f (x ) = a sin (ω x + ϕ0 )= a co s (ω x − ϕ0 ), где a – амплитуда, ω -

круговая частота, ϕ0 - начальная фаза колебания.

Если независимая переменная - время t , то величина y = f (t ) совершает

гармониками относительно основной (второй, третьей, и т.д.).

Основная гармоника может быть представлена в виде суммы двух тригонометрических функций одного и того же аргумента:

a sin (ωx + ϕ0 )= a sin ωx cosϕ0 + a cos ωx sin ϕ0 = A sin ωx + B cos ωx .

Функции sin x и cos x являются периодическими с периодом T = 2π . Функции sin 2x и cos 2x , sin 3x и cos3x ,… также имеют период 2π . Любая линейная комбинация вида

процессов. Любая величина f (t ), связанная с периодическим процессом,

по истечении периода T возвращается к своему первоначальному значению, т.е. является периодической функцией с периодом T .

Сущность гармонического анализа заключается в представлении функций, описывающих периодические процессы, в виде конечной или бесконечной суммы гармонических колебаний вида (1); гармонический анализ состоит в разложении периодических функций в сходящийся ряд Фурье.

5.3.2. Ортогональные системы функций

Предварительно укажем следующие утверждения, которые следует знать для дальнейшего изложения.

1)Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Если f (−x)= − f (x), то

∫a f (x)dx = 0 .

−a

2)f (−x)= f (x), f (x) – четная функция:

∫a f (x)dx =2∫a f (x)dx.

−a 0

1

3)Если функция f (x) имеет период 2π, то интеграл от нее по любому отрезку длины 2π имеет одно и то же значение, т.е.

[a,b], если ∫b f1 (x)f2 (x)dx =0.

a

Рассмотрим систему периодических тригонометрических функций с общим периодом 2π : {cos0 =1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... cos nx, sin nx,... }.

Эти функции ортогональны на отрезке [−π, π], а значит, в силу утверждения 3) и на любом отрезке [a, a + 2π].

Интегралы:

называется тригонометрическим рядом, а постоянные числа an , bn , (n =1, 2, 3...) называются коэффициентами ряда.

Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π

Если: 1) f (x) – периодическая функция с периодом 2π;

2)f (x) интегрируема на интервале (−π ,π );

3)f (x) для всех x (−π ,π ) является суммой тригонометрического

2

числа an , bn называются коэффициентами Фурье функции f (x), а

тригонометрический ряд, коэффициентами которого служат эти числа, – рядом Фурье функции f (x).

Если функция f (x) разлагается в равномерно сходящийся триго-

нометрический ряд, то этот ряд является ее рядом Фурье.

5.3.4. Разложение функций в тригонометрические ряды

Вопрос о возможности разложения функции f(x) в тригонометрический ряд сводится к ответу на вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция f (x), чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и

его сумма совпала с f (x).

В отличие от степенных рядов, в которые разлагаются только функции, имеющие производные всех порядков, в тригонометрические ряды разлагаются почти любые периодические функции.

Функция f (x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], ес-

ли этот отрезок с помощью конечного числа точек x1, x2,…, xn-1 можно разбить на интервалы так, что на каждом из них функция f (x) непрерыв-

на и монотонна.

Кусочно-монотонная и ограниченная на [a,b] функция f (x) может иметь только конечное число

точек разрыва I рода.

Если в точке x=c имеет место разрыв, то в силу монотонности функции f (x) слева от точки с суще-

ствует предел lim f (x)= f (c −0), а в силу монотон-

x→c−0

ности справа существует предел lim f (x)= f (c +0).

x→c+0

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.

Если функция f (x) с периодом 2π ограничена и кусочномонотонна на отрезке [−π,π], то ряд Фурье, построенный для f (x), схо-

дится во всех точках этого интервала. При этом:

1) сумма S(x) этого ряда равна f (x) в точках непрерывности функции f (x);

2) если точка х = с является точкой разрыва f (x), то сумма ряда Фурье

S (c)= f (c +0)+ f (c −0). 2

3

5.3.4.1. Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π

Пусть f (x) – периодическая функция с периодом 2π.

1). Если функция f (x) нечетная, f (−x)= − f (x), ее ряд Фурье содер-

∞

жит только синусы кратных дуг: f (x)= ∑bn sin nx.

n=1

2). Если функция f (x) четная, f (−x)= f (x), ее ряд Фурье содержит

5.3.4.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Сумма ряда Фурье есть периодическая функция, поэтому непериодическую кусочно-монотонную, заданную на интервале (−∞,∞) функцию

нельзя представить рядом Фурье. Но можно разложить ее в ряд Фурье, периодически продолжив, для любого конечного промежутка.

Для функции f (x)

построим функцию ϕ(x)

такую, что ϕ(x)= f (x) для x (−l; l ), а на всю действительную ось она

продолжается периодически с периодом 2l :

ϕ(x)=ϕ(x + 2l ).

4

Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ± l выполняется:

но представить в виде периодической функции ϕ(x) с периодом 2l , дополнив (продолжив) f (x) произвольным образом некоторой кусочномонотонной функцией f1 (x) на интервал (−l,0) так, что:

f (x), x (0, l );

ϕ(x)= f1 (x), x (−l, 0).

Так как продолжение f1 (x) первоначально заданной функции f (x) может быть выбрано бесчисленным множеством способов, то существует

5

ральным, а целым числом).

Эта сумма называется рядом Фурье в комплексной форме, слагающие ее

cn – комплексными амплитудами гармоник.

5.3.6. Интеграл Фурье

Если непериодическая функция задана на всей числовой оси (−∞;∞), на любом конечном отрезке [−l;l] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и

∞

абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. ∫ f (x) dx = M < ∞,

−∞

то она может быть разложена в интеграл Фурье:

тром функции f (x). Для периодической функции f (x) спектр - функция

целочисленного аргумента, т.е. последовательность, величины отдельных членов которой показывает вклад соответствующих гармоник ( f (x) со-

ставляется как сумма бесконечного, но счетного количества гармоник). Для непериодической функции f (x) в разложении ее на простейшие

периодические составляющие присутствует несчетное количество слагаемых (интеграл), величина F (k )∆k описывает вклад гармоник с волно-

выми числами из интервала (k − ∆2k ;k + ∆2k ).

Интеграл Фурье можно представить в виде, подобном ряду Фурье:

и амплитуды D (k )= A2 (k )+ B2 (k ).

6

=1 π∫ (cos (n − m )x + cos (n + m )x )dx =

2 −π

=1 π∫ (cos (n − m )x − cos (n + m )x )dx =

2 −π

ПП 5. 3.4. Разложение функций в тригонометрические ряды

8

an = π1 π∫ f (x)cos nx dx = 0 , n = 0,1,2,...,

−π

так как подынтегральная функция нечетна;

0, если п = 2k − четное;

=4 , если п = 2k +1− нечетное.

πn

Построим графики трех первых частичных сумм ряда.

С увеличением числа слагаемых частичная сумма все точнее представляет f (x).

9