Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка по математике.doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2015

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Линейное программирование

1. Экономико-математические модели. Задачи о рентабельности производства, о смесях, о раскрое материалов, о размещении заказа, об использовании мощностей. Транспортная задача.

2. Общая задача линейного программирования (ЗЛП): основные понятия. Различные формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду.

3. Выпуклые множества точек: основные понятия. Выпуклые множества в мерном пространстве. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Свойства решений ЗЛП.

4. Графическое решение ЗЛП: постановка и алгоритм графического метода решения ЗЛП.

5. Системы линейных уравнений: элементарные преобразования системы, метод Жордана-Гаусса и его алгоритм. Неотрицательное базисное решение. Операция однократного замещения.

6. Симплексный метод решения ЗЛП: геометрическая интерпретация, симплексные таблицы и их заполнение. Теоретическое обоснование симплексного метода: теоремы, лежащие в основе этого метода. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса и особенности его алгоритма.

7. Теория двойственности. Задача использования сырья. Виды двойственных задач. Правила составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Связь между решениями взаимно-двойственных задач.

8. Транспортная задача. Общая постановка задачи. Закрытая и открытая задачи. Обоснование решения транспортной задачи. Нахождения первоначального опорного плана: метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости. Метод потенциалов. Критерий оптимальности решения транспортной задачи. Алгоритм метода потенциалов.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам специальностей экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены

в табл. 6.

Таблица 6

Номер варианта	Контрольная работа № 7 Номера задач	Контрольная работа № 8 Номера задач
1	281 291 301	341 351 361 371
2	282 292 302	342 352 362 372
3	283 293 303	343 353 363 373
4	284 294 304	344 354 364 374
5	285 295 305	345 355 365 375
6	286 296 306	346 356 366 376
7	287 297 307	347 357 367 377
8	288 298 308	348 358 368 378
9	289 299 309	349 359 369 379
10	290 300 310	350 360 370 380

Контрольные задания

1–10. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А₁А₂; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А₁А₂А₃; 3) угол между ребром А₁А₄и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объём пирамиды.

А₁(7, 7, 6), А₂(5, 10, 6), А₃(5, 7, 12), А₄(7, 10, 4).
А₁(6, 1, 1), А₂(4, 6, 6), А₃(4, 2, 0), А₄(1, 2, 6).
А₁(8, 7, 5), А₂(10, 6, 6), А₃(5, 7, 9), А₄(8, 11, 8).
А₁(7, 7, 3), А₂(6, 5, 8), А₃(3, 5, 8), А₄(8, 4, 1).
А₁(4, 2, 5), А₂(0, 7, 2), А₃(0, 2, 7), А₄(1, 5, 0).
А₁(4, 4, 10), А₂(4, 10, 2), А₃(2, 8, 4), А₄(9, 8, 9).
А₁(4, 6, 5), А₂(6, 9, 4), А₃(2, 10, 10), А₄(7, 5, 9).
А₁(3, 5, 4), А₂(8, 7, 4), А₃(5, 10, 4), А₄(4, 7, 8).
А₁(10, 6, 6), А₂(-2, 8, 2), А₃(6, 8, 9), А₄(7, 10, 3).
А₁(2, 9, 3), А₂(6, 3, 7), А₃(6, 8, 5), А₄(5, 11, 10).

11–20. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.

11. а) , б) .

12. а) , б) .

13. а) , б) .

14. а), б).

15. а) , б).

16. а) , б) .

17. а) ,б).

18. а) , б) .

19. а) , б) .

20. а) , б) .

21–30. 1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26..

27. . 28..

29. . 30..

31–40. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.

31. а) , б) .32. а) , б) .

33. а) , б) .34. а) , б) .

35. а), б).36.а) ,б).

37. а) ,б) .38. а) ,б) .

39. а) ,б) .40. а) ,б) .

41–50. Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51–60. Найти производные данных функций.

51. а) ,б)

52. а) , б) .

53. а) , б) .

54. а) , б) .

55. а) , б) .

56. а) , б) .

57. а) , б) .

58. а) , б) .

59. а) , б) .

60. а) , б) .

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

61. а) б)

62. а) б)

63. а) б)

64. а) б)

65. а) б)

66. а) б)

67. а) б)

68. а) б)

69. а) б)

70. а) б)

71–80. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

71. а), б) .72. а) ,б).

73. а),б).74. а) ,б).

75. а),б).76. а) ,б).

77. а),б).78. а), б).

79. а),б). 80. а), б).

81–90. Найти неопределённые интегралы.

81. а) , б) , в), г) .

82. а) ,б) ,в) ,г) .

83. а) ,б) ,в) ,г).

84. а) ,б) ,в),г).

85. а) ,б) ,в) ,г).

86. а) ,б) ,в) ,г).

87. а) ,б) ,в) ,г) .

88. а) ,б) ,в) , г) .

89. а) ,б) ,в) ,г) .

90. а) ,б) ,в),г).

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

91. .92. .93. .94..95. . 96. . 97. .98..99. .100. .

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101. а) ,б) . 102. а) ,б) .

103. а) ,б) . 104. а) ,б) .

105. а) ,б) . 106. а) ,б) .

107. а) ,б) . 108. а) ,б) .

109. а) ,б) . 110. а) ,б).

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

111. .112. .

113. .114. .

115. . 116. .

117. .118..

119. .120. .

121–130. Исследовать сходимость числового ряда.

121. .122. .123. .124. .

125. .126..127. .128. .

129. .130. .

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

131. .132. .133. .134. .

135. .136. .137..138. .

139.. 140.

141–150. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

141..142..143. .144..

145..146..147. .148. .

149. .150. .

151–160. Найти точки экстремума функции .

151. . 152. .

153. .154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160. .

161–170. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж

области D.

161. , .

162. , .

163. , .

164. , .

165. , .

166. , .

167. , .

168. , .

169. , .

170. , .

171–180. Даны функция , точка и вектор . Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке А; 2) скорость изменения функции в точке А по направлению вектора .

171. , А(1, 1), .

172. , А(1, 1), .

173. , А(2, 1), .

174. , А(1, 1), .

175. , А(-1, 2), .

176. , А(1, 3), .

177., А(1, 2), .

178. , А(2, 3), .

179. , А(1, 1), .

180. , А(2, 1), .

181–190. Задана пластина неравенствами в декартовой системе координат и – плотностью материала, из которого изготовлена пластина. Найти массу пластины.

181. ,; .182. , ;.

183. ; . 184. , ;.

185.; . 186. , ; .

187. , ; .188. ; .

189. ; .190. ;.

191–200. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на координатную плоскость ХОУ.

191. . 192.

193. .194. .

195. 196. .

197. .198.

199. .200. .

201–210. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону (в положительном направлении оси OZ) части плоскости Р, отсекаемой координатными плоскостями.

201. , Р : .

202. , Р : .

203., Р : .

204. , Р : .

205. ,Р : .

206. ,Р : .

207. ,Р : .

208. ,Р : .

209. ,Р : .

210. ,Р : .

211–220. Найти поток векторного поля : а) через внешнюю сторону замкнутой поверхности , образованной поверхностью и плоскостью Р; б) через верхнюю сторону (в положительном направлении оси OZ) части плоскости Р, вырезаемой поверхностью ; в) через внешнюю сторону части поверхности , отсекаемой плоскостью Р.

211. , : ,Р: .

212. , : ,Р: .

213. , : ,Р: .

214. , : ,Р: .

215. , : ,Р: .

216. , : ,Р: .

217. , : ,Р: .

218. , : ,Р: .

219. , : ,Р: .

220. , : ,Р: .

221–230. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии от точки А к точке В.

221. , L: отрезок АВ, , .

222. , L: отрезок АВ, , .

223. , L: , , .

224. , L: , , .

225. , L: , , .

226. , L: , , .

227. , L: , , .

228. , L: , , .

229. , L: , , .

230. , L: , , .

231–240. Проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

231. .

232. .

233. .

234. .

235. .

236. .

237. .

238. .

239. .

240. .

241–250.

241. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что а) только один из стрелков попал в мишень; б) только два стрелка попали в мишень; в) все три стрелка попали в мишень.

242. В лотерее разыгрываются 10 билетов, из которых 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых билетов все оказались выигрышными.

243. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой урне – 5 белых, 11 чёрных и 8 красных шаров, во второй – соответственно 10, 8 и 6. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета.

244. В коробке 5 изделий, из которых 3 бракованные. Наудачу извлекаются

2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одно бракованное изделие.

245. Студент знает ответы на 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент, взявший экзаменационный билет ответит: а)на все три вопроса; б) на два вопроса из трёх; в) только на один вопрос экзаменационного билета.

246. Для производственной практики 20 студентам предоставлено 15 мест в Екатеринбурге и 5 – в Челябинске. Найти вероятность того, что два определённых студента попадут на практику в один город.

247. Два стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,8. Найти вероятность того, что а) мишень поражена; б) мишень поражена только одним из стрелков; в) мишень поражена дважды.

248. Экспедиция отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое отделение равна 0,9. Найти вероятность того, что а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) только одно почтовое отделение получит газеты вовремя; в) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.

249. На 12 человек выделили путёвки в 4 дома отдыха: 3 путёвки в первый дом отдыха, 3 – во второй, 2 – в третий и 4 – в четвёртый. Найти вероятность того, что 3 определённых человека поедут в один дом отдыха.

250. Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0, 95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

251–260. Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что событие А наступит к раз в n испытаниях.

251. а) б)

252. а) б)

253. а) б)

254. а) б)

255. а) б)

256. а) б)

257. а) б)

258. а) б)

259. а) б)

260. а) б)

261–270. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х.Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания её на отрезок .

261. 262.

263. 264.

265. 266.

267. 268.

269. 270.

271–280. Из генеральной совокупности, распределённой по нормальному закону, взята выборка. Найти: а) выборочную среднюю ; б) выборочное среднее квадратическое отклонение ; в) с надёжностью доверительный интервал для оценки математического ожидания а генеральной совокупности при известной дисперсии .

271.

	10,6	15,6	20,6	25,6	30,6	35,6	40,6
	8	10	60	12	5	3	2

272.

	100	110	120	130	140	150	160
	4	6	10	40	20	12	8

273.

	130	140	150	160	170	180	190
	5	10	30	25	15	10	5

274.

	26	32	38	44	50	56	62
	5	15	40	25	8	4	3

275.

	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4
	5	15	40	25	8	4	3

276.

	110	115	120	125	130	135	140
	5	10	30	25	15	10	5

277.

	45	50	55	60	65	70	75
	4	6	10	40	20	12	8

278.

	105	110	115	120	125	130	135
	4	6	10	40	20	12	8

279.

	12,5	13,0	13,5	14,0	14,5	15,0	15,5
	5	15	40	25	8	4	3

280.

	10,2	10,9	11,6	12,3	13,0	13,7	14,4
	8	10	60	12	5	3	2

281–290. Из системы векторов выделить максимальную линейно независимую подсистему векторов, и остальные векторы выразить через них.

281. , , , .

282. , , , .

283. , , , .

284. , , .

285. , , , .

286. , , .

287. , , .

288. , , , .

289. , , , .

290. , , , .

291–300. Даны матрицы А, В и . Решить систему :

а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера.

291. 292.

293. 294.

295. 296.

297. 298.

299. 300.

301–310. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей А.

301. . 302. . 303. .

304. . 305. . 306. .

307. . 308. . 309. .

310. .

311–320. Разложить функцию в степенной ряд в окрестности точки и найти область сходимости полученного ряда.

311. . 312. .

313. . 314. .

315. . 316. .

317. . 318. .

319. . 320. .

321–330. Вычислить интегралы. В пункте в) применить вычеты.

321. а) где – дуга параболы от точки до точки

; б) ; в) .

322. а) ,где – граница области ;

б) ; в) .

323. а) где – отрезок, соединяющий точки ;

б) ; в) .

324. а) , где : ;

б) ; в) .

325. а) где – отрезок, соединяющий точки ;

б) ; в) .

326. а) , где – граница области;

б) ; в) .

327. а) где – ломаная, соединяющая точки ;

б) ; в) .

328. а) , где : ;

б) ; в) .

329. а) где – часть кривой от точки

;

б) ; в) .

330. а) , где – граница области;

б) ; в) .

331–340. Решить операционным методом задачу Коши для дифференциального уравнения.

331. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

332. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

333. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

334. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

335. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

336. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

337. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

338. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

339. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

340. ,

где – оригинал, заданный графиком:

f(t)

-b

341–350. Найти графическим методом наименьшее и наибольшее значения целевой функции в области, заданной системой ограничений.

341. 342. 343. 344.

345. 346. 347. 348.

349. 350.

351–360. Задача о планировании производства.

Производственному участку запланировано к изготовлению два вида изделия: А и В. На производство единицы изделия вида А необходимо затратить часов на оборудовании первого типа и часов на оборудовании второго типа. На производство единицы изделия вида В необходимо затратить часов на оборудовании первого типа и часов на оборудовании второго типа.

Фонд полезного времени первого типа оборудования составляет часов, второго типа оборудования – часов. Отпускная цена единицы изделия вида А составляет руб., а изделия вида В – руб.

Найти симплексным методом план выпуска изделий каждого вида при условии, что его стоимость должна составлять не менее р руб. и оборудование первого типа должно быть загружено минимально.

351. 352.

353. 354.

355. 356.

357. 358.

359. 360.

361–370. Для заданной задачи линейного программирования составить двойственную задачу и решить её. На основе полученного решения записать оптимальный план исходной задачи.

361. 362. 363.

364. 365. 366.

367. 368. 369.

370.

371–380. Требуется доставить однородный груз от трёх поставщиков пяти потребителям. Количество груза , которое нужно вывести от -го поставщика, количество груза , которое нужно доставить -у потребителю, а также тарифы перевозки единицы груза от -го поставщика -у потребителю указаны в следующей таблице: