Бесконечные производные

Если функция непрерывна в точке иравенили, то говорят, что функцияимеет в точке бесконечную производную (равнуюилисоответственно). В этом случае касательная к графику функции в точкепараллельна оси(), и ее уравнение(так как она проходит через точку).

Пример 1⁰. ,.

- вертикальная касательная к графику

функции.

Пример 2⁰. ,.

- вертикальная касательная.

Односторонние производные

Пусть определена на множествеи- предельная точка(). Если (), то его называют левой производной функции в точке и обозначают.

Аналогично .

Число (если оно существует), называется правой производной функции в точке .

Теорема. Пусть - предельная точка. Функцияимеет производную в точке,, причем.

Пример. .. Так как

, то не существует.

Пример.

, то есть непрерывна в точке.

не существует, так как . (предел по Гейне не существует).

Дифференцируемость функции в точке

Определение. Функция , определенная на множестве, называется дифференцируемой в точке, предельной для множества, если существует такая линейная относительно приращениямфункция(- некоторое число), что приращениефункциипредставляется в виде(1), где.

Так как , то (1) можно записать в виде(1). Геометрически (1) означает, что, то есть в достаточно малой окрестности точкиграфик функциисливается с некоторой невертикальной прямой, то есть “спрямляется”.

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда ее приращение можно представить в виде (1). Имеем

.

Следовательно, производная существует и.

Достаточность. Пусть конечная производная . Тогда по определению производной.

Положим (2), если. Функцияявляется бесконечно малой при. Действительно,.

Кроме того, из (2) , тем самым доказано, что функциядифференцируема в точке.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из (1) вытекает , то есть функциянепрерывна в точке.

Обратное утверждение неверно. Функция непрерывна в каждой точке. С другой стороны, в точкефункцияне имеет производной и по доказанной теореме не является дифференцируемой.

Дифференциал и приближенное вычисление

Определение. Дифференциалом функции в точке(дифференцируемой в этой точке) называется линейная функция приращения:

.

Формулу (1) приращения дифференцируемой функции можно записать так: .

Разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с, по этой причине говорят, что дифференциал есть главная (линейная относительно) часть приращения функциив точке.

Если , то, очевидно,и, то есть.

Поэтому

(1)

или ,

то есть отношение дифференциалов иравно. По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символомнаряду с предложенным впоследствии Лагранжем символом.

Ж.Л. Лагранж (1736-1813) – знаменитый французский математик и механик.

Если , то, то есть,. (2)

Этим часто пользуются для приближенного вычисления значений дифференцируемой функции из некоторой - окрестности точкипри достаточно малом. Для этого формулу (2) записывают в виде(3) или(4).

Замечание. Соотношением (4) функция линеаризована в окрестности точки.

Функция дифференцируема в точке x₀

Существует конечная производная

Функция непрерывна в точке x₀