7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции теорема 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)

Пусть и. Тогдатакое, что.

Доказательство. Пусть ,. Разделим отрезокпополам:

1. если , то;

2. если , то обозначим,;

3. если , то обозначим,.

Заметим, что длина отрезка в два раза меньше длины отрезка.

Разделим теперь отрезок пополам и повторим предыдущие рассуждения. То есть, если в точке деления функция обращается в ноль, то нужная точка уже найдена. В противном случае выберем тот из получившихся отрезков, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезоки заметим, чтои.

Продолжим этот процесс. Если , то.

Если мы не встретим нуль функции на каком-то шаге, то получим последовательность вложенных отрезков , длины которых. Значит, согласнолемме Коши-Кантора о вложенных отрезках существует точка .

Докажем, что . Так как последовательностьи ограничена,. Так как последовательностьи ограничена,. Для каждого, следовательно,.

Функция непрерывна в точке, поэтому

, .

, (1)

.(2)

Из (1) и (2) вытекает, что.Теорема доказана.

Следствие (теорема о прохождении непрерывной на отрезке функции через любое промежуточное значение).

Пусть и. Тогда для любого числа, заключенного междуи, существует такое, что .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Функциянепрерывна наи. Согласно теореме Больцано-Коши о нуле непрерывной функции, то есть. Теорема доказана.

Следствие. Если функция непрерывна на , то

, (3)

где ,.

Доказательство. Для каждого , поэтому

. (4) По теореме Вейерштрасса,.

Пусть (если). Имеем:,. По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях. То есть мы доказали, что функцияпринимает все значения от до, следовательно,

. (5)

Из (4) и (5) вытекает (3).

Другая формулировка следствия:

Если , то.

7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Лемма. Функция , монотонная на, непрерывна на нем тогда только тогда, когда,.

Доказательство. Необходимость. Согласно следствию из теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях .

Пусть функция возрастает на. Тогда, следовательно,,.

Достаточность. Пусть функция монотонно возрастает наи. Покажем, что функциянепрерывна на. Доказательство проведем от противного. Предположим, что функцияразрывна и пусть- точка разрыва (первого рода!). Возможны три случая:

1); 2); 3).

1) Если , то, так как функциявозрастает, то,,, причем(в силу монотонности функции)

Выберем такое число , что

(6)

Так как ,, то. Если, то, что противоречит (6).

Так как , то. Поэтому, если, то, то есть, что опять противоречит выбору. Таким образом, точкане может быть точкой разрыва функции.

2) Доказывается аналогично.

3) . Пусть,.

Так как , то

, (7)

а так как – точка разрыва (первого рода), то(одно из неравенств в (7) является строгим).

Выберем () так, что. (8) Так как, то. Имеем. Поэтому. Если, то, что противоречит (8). Так как, то. Если, то, что противоречит (8).

Если , то, что также противоречит выбору числа.

Таким образом, точка не может быть точкой разрыва функции.

Лемма доказана.

Пусть биективное отображение. В таком случае функцияобратима. Справедлива

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

ТЕОРЕМА. Пусть функция строго возрастает (убывает) и непрерывна на. Тогда:

1. ;

2. обратима;

C) обратная функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на.

Доказательство.

А) Смотри лемму.

B) Отображение биективно ( или ) и, значит, обратимо.(Смотри Обратное отображение (Лекция №4)).

С) Пусть строго возрастает на. Покажем, чтострого возрастает на. Пусть,. Тогда,. Для. В самом деле, если, то есть; если, то есть. Поэтому.

Так как строго возрастает наи, то по лемменепрерывна на. Теорема доказана.