6.4 Свойства непрерывных функций

ТЕОРЕМА 1 (о локальной ограниченности)

Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Пусть ,.

ТЕОРЕМА 2 (об устойчивости знака непрерывной функции в точке)

Если функция непрерывна в точкеи, то.

В самом деле, так как непрерывна в точке, то.

Тогда .

При этом , еслии, если.

Отсюда вытекает, что, если функция непрерывна в точкеи, то она сохраняет знак в некоторой окрестности точки.

Следствие. Пусть ,,непрерывны в точкеи. Тогда:.

Доказательство. Рассмотрим непрерывна в точке,:.

6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями

ТЕОРЕМА 3. Сумма и произведение непрерывных функций непрерывны: если функции : непрерывны в точке , то функцииитакже непрерывны в этой точке.

Доказательство.

1. Пусть – изолированная точка. Тогдаинепрерывны по определению.

2. Пусть – предельная точка множестваХ. Тогда

;

.

ТЕОРЕМА 4. Функция непрерывна в точке, если функция непрерывна в точке и.

Следствие. Функция непрерывна в точке, если функциинепрерывны в точкеи.

6.6 Теорема о непрерывности сложной функции

ТЕОРЕМА 5 . Пусть ,, функциянепрерывна в точке,и функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке.

В самом деле,

, (1)

,

но тогда согласно теореме о пределе композиции функций .

Из (1) вытекает, что . Теорема доказана.

Следствие. Если , анепрерывна в точке, то

.

Итак, для непрерывной функции переход к пределу можно выполнять под знаком функции.

6.7 Непрерывность элементарных функций

Перечислим основные элементарные функции: (), (), (),,,,,,,,.

Определение. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операций суперпозиции, называются элементарными.

Пример. Функция является элементарной.

Среди элементарных функций обычно выделяются:

целая рациональная функция или многочлен

,

здесь n – степень многочлена, ;

–коэффициенты многочлена;

дробно-рациональная функция, являющаяся отношением двух многочленов

.

Целые рациональные и дробно-рациональные функции образуют так называемый класс рациональных функций.

К элементарным функциям относят также те иррациональные функции, которые представляют суперпозицию рациональных функций и степенных функций с дробно-рациональными показателями.

Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций. Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными функциями.

ПРИМЕР. а) – целая рациональная функция,

или многочлен четвёртой степени;

б) – дробно-рациональная функция;

в) – иррациональная функция;

г) – трансцендентные функции.

ТЕОРЕМА. Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Доказательства вытекает из определения и теорем 3 - 5 (Свойства непрерывных функций).

Пример. Покажем, что функция непрерывна в любой точке .

Требуется доказать, что .

Лемма. .

ордината точки .

1. Пусть . , то есть , .

2. Пусть .

.

Итак, , .

3. Ясно, что .

4. Пусть . В этом случае . Таким образом,

.

Лемма доказана.

Возьмем любое положительное . Оценим модуль разности

.

Пусть . Тогда . Таким образом, функция непрерывна в каждой точке .

Пример 2. , . Функция непрерывна и строго возрастает на . Поэтому существует обратная функция, которую обозначают , определенная на , возрастающая на от до и непрерывная на этом отрезке.

Пример 3. ,,непрерывны на множестве.

непрерывна по теореме 5.

В частности, ,, непрерывна.

Пример 4. Так как для непрерывной функции переход к пределу можно выполнять под знаком функции, то

.