Билет 29

Непрерывность дифференцируемой функции.

Если приращение функции fв точкеxможет быть записано в виде

∆f (x) =A∆x + o(∆x)

где A∆x = f '(x)∆x – дифференциал

то функция fназывается дифференцируемойв точкеx.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а;b] или интервала (а;b), то говорят, что онадифференцируемана отрезке [а;b] или соответственно в интервале (а;b).

Функция fназываетсянепрерывной в точке x₀, если существует предел функцииfприx →x₀, и он равен ее значению в точкеx₀, т. е.

Функция f (x)непрерывна на отрезке[a,b], если она непрерывна во всех точках интервалаx₀ϵ(a,b) и непрерывна справа в точкеaи слева в точкеb.

Функция f имеет производную в точке x₀ тогда и только тогда, когда она дифференцируема в этой точке.

Теорема:

Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Так как функция дифференцируема в точке x, то ее приращение представимо в виде

∆f (x) =A∆x + o(∆x), из которого следует, что lim_{ x 0}y = 0, что и означает непрерывность функции в данной точке.

Теорема доказана.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке

Билет 30

Производная и дифференцируемость функции в точке.

1. Производная в точке.

Важной характеристикой движения материальной точки является ее мгновенная скорость.

Допустим, материальная точка движется по закону по прямой, т. е. находится в свободном падении под действием постоянной силы тяжести. Фиксируя произвольный момент времениt и какое угодно егоприращение∆t>0, получимсреднюю скоростьна отрезке времени [t,t+ ∆t]

Для нашего закона движения

Средняя скорость непостоянна, она зависит от момента времени t и от приращения времени ∆t.Мгновенной скоростью(или простоскоростью) движущейся точки называется предел, к которому стремится средняя скоростьv(t, ∆t) при стремлении к нулю приращения времени, т. е.

Итак, при нахождении скорости изменения какой-то переменной величины y = f (x) в точкеx нам нужно совершить предельный переход

Числоf '(x) , если такой предел существует, называется производнойфункцииy= f (x)в точкеx.

Теорема1:

Если функция f(x) имеет производную в точке x то она непрерывна в этой точке.

2. Дифференцируемость в точке.

Рассмотрим приращение функции f в точкеx ∆f (x) = f (x+∆x) – f (x).

Поведение этого приращения, как функции приращения аргумента ∆xпри фиксированномx, показывает, существует ли производная в этой точке у функцииf. В случае существования производнойf ' приращение ∆f (x)может быть записано в виде (см.теорему 1):

∆f (x) =f (x)∆x + ε(∆x)∆x

Если же приращение функции fв точкеxможет быть записано в виде

∆f (x) =A∆x + o(∆x)

то функция fназывается дифференцируемой в точкеx.

Теорема 2:

Функция f имеет производную в точке x тогда и только тогда, когда она дифференцируема в этой точке.

Доказательство.Необходимостьдоказана выше.

Достаточность.Рассмотрим. По определениюo(∆x) имеем

Отсюда следует, что при наличии дифференцируемости функции y=f (x) в точкеxглавную роль в приращении ∆f(x) играетлинейная часть A∆x = f '(x)∆x . Она называетсядифференциаломфункцииf(x) в точкеxи обозначается. Здесь∆x=dx

Замечание

Если функция задана в виде y = y(x), то и приращение ее, и дифференциал можно записать так: ∆y = y'(x) ∆x + o(∆x)

dy=y'(x)dx