Билет 20

Теорема непрерывности сложной функции

Если функция y=(x) непрерывна в точке x₀, а функция  f(y) непрерывна в точке y₀, где y₀=(x₀₎, то сложная функция F(x)=f((x)) непрерывна в точке x₀.

Доказательство. Пусть x_nx₀. Тогда в силу непрерывности в точке x₀ функции   последовательность  y_n=(x_n) сходится к y₀=(x₀). Но тогда, в силу непрерывности уже функции f в точке y₀, последовательность z_n=f(y_n)=F((x_n)) сходится к f₀=F((x₀)). Итак, из определения Гейне следует, что функция  F((x))непрерывна в точке x₀.

Если считать, что существуют пределы (x) y₀ при xx₀ и  f(y) A при yy₀, то в теореме непрерывности и разрыва функции (http://kma.math.usu.ru/Method/math_an_1/modules/part_6.html - t6.1.2) доказано, что  

Это равенство можно понимать как правило замены переменной при нахождении пределов.

Билет 21 Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке

Определение: функция  f(x) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех точках интервала   и непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Первая теорема Вейерштрасса. 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем.

Необходимо доказать, что существует M>0, что для всех  выполняется |f(x)|≤M.

Доказательство (от противного). Пусть для всякого M>0 найдется такая точка , что |f(x_m)|>M:

для M=1 найдется ;

для M=2 найдется  и т. д.,

. . . . . . . .

для M=n найдется  и т. д.,

. . . . . . . .

Итак, построена последовательность  {x_n} [a,b] такая, что для всех n: |f(x_n)|>n. Ясно, что  f(x_n)∞. Последовательность {x_n} [a,b], т. е. ограничена. Следовательно, по теореме Больцано - Вейерштрасса, существует подпоследовательность   такая, что. Так как функция f  непрерывна на отрезке [a,b], она непрерывна и в точке . Итак, имеем , но по построению , что является противоречием.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Непрерывная функция f на отрезке [a,b]  достигает в некоторых точках отрезка [a,b] своих точных верхней и нижней границ, т. е. существуют  такие, что 

Доказательство. Докажем существование точки максимума функции f, т.е. точки , в которой значение функции равно точной верхней грани множества значений функции f. По первой теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке [a,b]  функция f  является ограниченной на этом отрезке, следовательно, ограничена сверху, числом K,т. е. для всех . Тогда существует точная верхняя граница M множества значений функции f(x)  на отрезке [a,b]:  ,т.е. такое число M, что

1. для всех ;

2. для любого >0  существует точка   .

Возьмем последовательные значения Тогда построена последовательность {x_n} [a,b]. Эта последовательность ограничена. Следовательно, по теореме Больцано - Вейерштрасса существует подпоследовательность   такая, что . Функция f  непрерывна в точке x= .

Следовательно, , но, с другой стороны, для всех k выполняется  . В силу свойства сходящихся последовательностей заключаем, что f( . Итак, .

Билет 22

Теорема Больцано-Коши о нулях функции

Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , ее значения на концах отрезка f(a)  и  f(b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале (a,b)  имеется по крайней мере одна точка  такая, что f(c)=0.

Доказательство (метод Больцано: деления отрезка пополам). Пусть f(a)<0<f(b)  (см. рис).

Обозначим отрезок [a,b] = Δ₀. Разделим его пополам. Если в середине отрезка Δ₀ функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за Δ₁ =[a₁,b₁] ту из половин отрезка [a,b], на концах которой функция f(x)  имеет разные знаки: f(a₁)<0<f(b₁). Разделим отрезок Δ₁  пополам. Если в середине отрезка Δ₁ функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за Δ₂ =[a₂,b₂]   ту из половин отрезка [a,b], на концах которой функция f(x) имеет разные знаки: f(a₂)<0<f(b₂). Рассуждая таким образом, мы либо на каком-то шаге получим точку, в которой функция обращается в нуль, и все доказано, либо построим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, и для всех n  выполняются неравенства f(a_n)<0<f(b_n). Следовательно, по теореме Кантора существует точка c, принадлежащая всем отрезкам Δ_n. Поэтому   и  . Тогда, с одной стороны,  с другой стороны, в силу непрерывности функции f(x)  в точке c, f(c). Следовательно, f(c) = 0.