Матанализ, 1 курс, 1 семестр, КБ-101, билеты

Билет 3

Единственность предела сходящейся последовательности.

Определение предела:

a_n сходится, если найдётся a, к которому стремится a_n

Теорема:

Если {a_n} – сходится, то её предел единственный.

Доказательство:

Пусть a_n→a, a_n→b>a

ε = (b-a)/3 >0

поε >0

по ε >0

n₀>max{N₁,N₂}=N;N≥N₁,N≥N₂; (n>N₁)^(n>N₂)

n₀>N₁,n₀>N₂

Определение 1:

при {a_n} – ограничено ;a_n€ [m;M]

Определение 2:

{a_n} – ограничено, если

Определение 3:

{a_n}– сходится, если

{a_n} – ограничена, если

Опр2 =>Опр3

Опр3=> Опр2

M = max {M₀, |a₁|, |a₂|,…,|a_n-1|}>0

Берём

1. n<N : |a_n| ≤ M

2. n≥N : |a_n| ≤ M₀ ≤ M

Билет 4

Теорема об ограниченности

Если {a_n}- сходится, то {a_n} – ограничена. Обратное неверно

Доказательство:

ε=1;a_n→a

поε>0

| a_n| - |a| ≤ |a_n - a| < 1

| a_n| - |a| < 1

| a_n| < 1 + |a|

{a_n}ограничена по Опр3

Теорема:

Пусть {a_n} – монотонна, тогда {a_n} – ограничена <=> {a_n} сходится

Доказательство:

Необходимость – следует из теоремы об ограниченности

Достаточность – из теоремы о полноте R(изV)

Билет 5

Теорема о сохранении знака:

a_n→a>0, тогда

Доказательство:

ε = a/2>0 , тогда и a_n > a/2

Билет 6

Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей:

{a_n}, {b_n},

lim a_n = a, lim b_n = b, тогда lim a_n ≤ lim b_n

Доказательство:

От противного:

Пусть a>b

ε= (a-b)/2 > 0

по ε > 0

по ε > 0

n₀ > N = max {N₁, N₂}; n₀ > N₁, n₀ > N₂

an₀ > a – ε = a – (a-b)/2 = (a+b)/2 = (2b+a-b)/2 = b+(a-b)/2 = b+ε > bn₀

то есть an₀ >bn₀. Противоречие!

Билет 7

Теорема о 3-х последовательностях:

{a_n}, {b_n}, {c_n}

: a_n ≤ c_n ≤ b_n

lim a_n = lim b_n = a, тогда c_n → a

Доказательство:

поε> 0

по ε> 0

N = max {N₁, N₂}

Берём любое n>N ; n>N₁, n>N₂

a - ε < a_n ≤ c_n ≤ b_n < a+ ε, то есть a – ε < c_n < a + ε

Билет 8

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Определение:

Последовательность {α_n}называется бесконечно малой, если α_n→0 при n→+∞. Развернутое определение:

Определение:

Последовательность{β_n} называется бесконечно большой, если Этот факт будем записывать так: при или

Теорема.

Последовательность {α_n}, (α_n ≠ 0) является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.

Доказательствоследует из того факта, что неравенство |α_n|<εравносильно неравенству , и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. (Берем)

Билет 9

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.Доказательство.Возьмем произвольное . Для него Тогда

2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.Доказательство.Из ограниченности следует существование числа такого, что для всех . Следовательно, при любом положительном для положительного существует номер такой, что для всех . Поэтому для этихn>N имеем. Следовательно, по определению Коши, при .

3. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число и бесконечно малая последовательность такие, что для всех выполнялось равенство .Доказательство.Необходимость. Пусть при . Рассмотрим , тогда из определения сходимости следует, что при .Достаточность. Если , то из того, что - бесконечно малая последовательность и следует, что при .