Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lab12.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
22.02.2015
Размер:
154.62 Кб
Скачать

Выполнение работы и условия эксперимента

1. Откорректировать установку шаров. Для этого воротком, находящемся на верхнем кронштейне, установить такое расстояние между стержнями, чтобы шары соприкасались друг с другом. Отрегулировать высоту подвеса так, чтобы центры шаров были на одном уровне.

2. Включить микросекундомер в сеть. Нажать кнопку "Сеть". При этом на цифровом табло должны загореться нули. Кнопка "Пуск" должна быть отжата.

3. Установить электромагнит так, чтобы правый шар, удерживаемый электромагнитом, был отклонен на максимальный угол. Нажав кнопки "Сброс", а затем "Пуск" провести пробное измерение. При этом надо проследить, чтобы соударение было центральным, то есть траектория движения левого шара после столкновения должна находиться в плоскости движения правого шара до столкновения.

4. Установить с помощью электромагнита шар под максимально возможным углом к вертикали. Не менее 5 раз провести измерение времени соударения для данного угла. Следить за тем, чтобы левый шар в момент удара не двигался. Рассчитать скорость правого шара перед соударением по формуле (9), рассчитать погрешность определения V. Провести обработку результатов измерения времени столкновения, то есть рассчитать среднее значение, среднеквадратичное отклонение, доверительные границы. Провести анализ результатов измерения времени на промах.

5. Изменяя угол подвеса шаров в диапазоне до минимально возможного провести измерение времени соударения аналогично пункту 4. Результаты представить в виде таблицы. Построить график зависимости ln от lnV.

Обработка результатов эксперимента

Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости ln от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости ln от lnV, введем новые обозначения x=lnV, y=ln , a=lnA. Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид

. (10)

Задача состоит в нахождении таких значений a и b, при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i-го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2. Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi)? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b, таковы, что yi<a+bxi, но также нехорошо, если a и b, таковы, что yi>a+bxi. Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi, а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2, то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0.

В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l), т.е.

. (11)

Метод определения констант a и b, входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.

Таким образом, надо выбрать a и b, так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b, поэтому должно было бы быть так -

Аналогично, если бы было найдено b, то -

Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b

. (12)

Величины xi, yi, xi2 и xiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b. Решая ее любым способом, нетрудно получить

. (13)

Таким образом, параметры a и b, рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.

Определив величины a и b, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0, характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле

. (14)

Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам

. (15)

Наконец, доверительные границы a и b параметров прямой при доверительной вероятности рассчитываются следующим образом

, (16)

то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+)/2 и для числа точек, равного l-2. Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10) при доверительной вероятности =0.9, то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.

Определив параметр b, можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n). Тогда для n получаем

. (17)

Погрешность n определяется как погрешность косвенного измерения по формуле

. (18)

где b вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2.

Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a=lnA, имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.

. (19)

Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл , достаточно просто берется лишь дляn, кратных ½. Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n. Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k. Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность k, зная n и a. Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.

Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.

Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h, из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]