Лекция 2.

Замечание. typedef и #define

=typedef позволяет пользователю дать новое имя некоторому типу:

typedef тип новое_имя [размерность];

Введенное новое имя можно использовать также, как имена стандартных типов. typedef unsigned int Uint;

Uint k, I, j;

=Директива #define является директивой препроцессора и определяет некоторую подстановку в тексте программы, выполняемую препроцессором. #define используется для определения:

• символических констант: #define имя текст_подстановки

Каждое вхождение имени заменяется на текст_подстановки.

#define VER 1 {в С++ лучше писпользовать const ….}

• символов, управляющих условной компиляцией: #define имя

#define HEADER_INCLUDED

Используется вместе с директивами #ifdef и #ifndef .

Представление вещественных чисел в памяти ПК

В дальнейшем будем рассматривать тип double

Пример. X=3.5 = 11.1₂ = (-1)⁰ *1.11*2¹

P^’=P+1023 P’ = 1+1023 =1024

p’=1024 f=0.11

01000000

0000

1100

00000000

00000000

00000000

…

00000000

7 6 5 4 3 0

16-ый код: 40 0С 00 00 00 00 00 00

Число –3.5: С0 0С 00 00 00 00 00 00

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей точкой (тип double): |X|_min<=|X|<=|X|_max и X=0 1<=P’<=2046 (для чисел X ≠0)

|M|_min*2^pmin <=|X| <=|M|_max*2^pmax и X=0

1*2^-1022<=|X| <=(2-2^-52)*2¹⁰²³ и X=0

10^k<=|X| <=10^L lg2=0.30103

k= –1022*lg 2= –307.65266= -308+0.34734

L= 1024* lg 2=1024*0.30103=308.25472

2.2*10^-308<=|X| <=1.7*10³⁰⁸ и X=0

^{__[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\] _____|_____[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]______}

^–X_max -X_{min 0} X_{min Xmax}

Точность чисел, представленных в формате с плавающей точкой: часто вместо числа Х в МС хранится его приближение Х^*. Погрешность вносится из-за хранения приближенного значения мантиссы.

Абсолютная погрешность числа Х^*:

|X – X^*| = ∆( Х^*) = |M_X –M_X*|*2^p_x = 2^-52*2^px

т.е. абсолютная погрешность числа зависит от порядка числа. Обычно для формата с плавающей точкой определяют относительную погрешность Х^* : (Х^*)

Для пользователя более важным является практический вопрос: сколько значащих цифр десятичного представления числа гарантированно сохраняются при таком формате хранения числа. Есть приближенное правило для определения этого количества К цифр при q=2:

m двоичных разрядов мантиссы соответствуют К десятичным цифрам:

К[m / 3.32]; Для типа double К=[53/3.32]=15.96, т.е. для значения типа

double сохраняется в памяти 15-16 десятичных знаков.

Выполнение операций над числами,представленными с плавающей точкой (говорят- в плавающей арифметике).

Пусть X = M_x2^Px ,а Y = M_y2^Py

a)Сложение (вычитание) чисел:

Z = X  Y = M_x2^Px  M_y2^Py

={1шаг–выравнивание порядков к большему; пусть Px >Py}

= 2^Px(M_x  M_y2^Py–Px)

={2 шаг–сдвиг мантиссы M_y на |P_y–P_x| разрядов}

= 2^Pxm_z

= {3шаг–сложение(вычитание) мантисс, получается мантисса m_z}.

= M_z 2^Pz

Возможны случаи:

• 1  |m_z| < 2  операция закончена, M_z = m_z ; P_z = P_x ;

• 2  |m_z|, но |m_z| <4

 выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы вправо на 1 разряд с коррекцией порядка (+1);

• |m_z| <1  выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы влево на t разрядов с коррекцией порядка (–t).

з p_х 1.ххххх

– з p_y 1.xxyyy пусть p_х == p_y

з p_х 0.00zzz При вычитании близких чисел

з p_z 1.zz??? происходит потеря точности

б)Умножение :

Z = X  Y = M_x2^Px  M_y2^Py = M_xM_y2^Px+Py == M_z 2^Pz , где M_z = M_xM_y ; P_z = P_x+P_y; т.е. при умножении чисел их мантиссы перемножаются, а порядки складываются. При умножении двух мантисс может получиться результат такой, что потребуется сдвиг мантиссы вправо, но не более, чем на один разряд, тогда нужна коррекция порядка (+1).

в)Деление :

т.е. при делении чисел их мантиссы делятся, а порядки вычитаются. При делении двух мантисс может потребоваться для полученной мантиссы сдвиг влево, но не более, чем на один разряд с коррекцией порядка (–1).

Особые ситуации плавающей арифметики.

1. Переполнение порядка при выполнении операций плавающей арифметики;

2. некорректность деления в плавающей арифметике: деление на число с нулевой мантиссой;

3. потеря значимости: P_z 0, а M_z = 0;

4. исчезновение порядка: P_z < P_min , а M_z  0.

Две последние ситуации не являются аварийными, они обычно приводят к тому, что результат Z заменяется нулём – это машинный нуль.

Достоинства формы представления чисел с плавающей точкой.

• Сравнительно широкий диапазон чисел;

• Хранение только значащих цифр числа. Представление обеспечивает для числа максимальную точность при фиксированной разрядной сетке.

Недостатки формы представления чисел с плавающей точкой:

• более сложная конструкция схем, выполняющих операции над числами в процессоре: необходимы отдельные схемы для обработки мантисс, порядков, знаков.

Замечание. Арифметика для формы представления с плавающей точкой имеет некоторые "нехорошие " свойства:

• результаты операций получаются, как правило, с погрешностью, поэтому сравнивать два вещественных значения a и b на точное совпадение (a == b) не имеет смысла; проверяют обычно их близость с некоторой точностью : | a – b| < ;

• вычитание близких чисел приводит к потере точности, поэтому рекомендуется его избегать;

• если a >> b, то их сложение может дать результат a + b = a, а следовательно значение суммы

a + b₁ + b₂ + … + b_n , где b_i << a при всех i = 1, 2, …, n, может зависеть от порядка действий.

2. Объединения.

Объединение (union) – частный случай структуры, включает данные разных типов. Особенность объединения состоит в том, что все поля его располагаются по одному и тому же адресу, т.е. все элементы объединения при размещении в памяти имеют одно и тоже нулевое смещение от начала.

Размер объединения равен максимальной из длин его полей.

Описание объединения напоминает описание структуры:

union [имя типа] {описание полей} [список имён] ;

Список имён может содержать имена переменных, указатели,массивы.

Имя типа указывать необязательно,тогда надо указать элемент(ы) в списке имён. Можно указать и то и другое.

Пример.

union ch // ch - имя типа {double x; сhar s[8]; };

union // имени типа нет {double x; сhar s[8]; }q; //переменная q-объединение

Если введён тип, то можно определять (аналогично структурам):

ch v,w[4]; //переменные, массивы

ch *pch; //указатели

Обращение к элементу объединения:

Имя_объединения . имя_элемента

Указатель на объединение -> имя_элемента

*( Указатель на объединение). имя элемента

Примеры: v.x v.s[i] pch->x *(pch).x

Занести значение в объединение можно присвоив его элементу это значение: q.x=1.57E-2;

Назначение объединения-обеспечить возможность доступа к одному и тому же участку памяти с помощью разных типов. Это позволяет, например, задав значение вещественного числа x, посмотреть (и вывести) содержимое его отдельных байтов s[i], и таким образом получить внутреннее представление вещественного x. Для вещественного данного такой доступ к отдельным байтам невозможен.

//Внутреннее представление вещественных данных

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

typedef double tip; // рассматриваемый тип обозначим tip

const int L=sizeof(tip); // размер типа в байтах

union {

tip a;

unsigned char u[L];

}q; // q- включает вещ.данное и массив

//байтов размера, равного размеру типа tip

// здесь необходимо учитывать, что значение a в памяти хранится

//в перевёрнутом виде: от младшего байта к старшему,

//внутренность байта не переворачивается.

//Байты строки u в памяти хранятся в порядке u[0],u[1],…u[L-1]

//т.е. u[0]наложится на младший байт a,…u[L-1] на старший байт

//a, поэтому вывод надо начинать с u[L-1], затем u[L-2],… ,u[0], либо строку S формировать с конца.