Labaratorni_z_fiziki__vidpovidi_na_kontrolni
.pdfПорядок виконання роботи
1. Розмістити важки m2 на однакових відстанях від осі
обертання, внаслідок чого маятник повинен бути збалансованим. 2. Штангенциркулем виміряти радіуси двоступінчатого
шківа r1 і r2.
3.Намотати нитку на шків з радіусом r1. Підвісити на гачок нитки важок масою m.
4.Установити нижній край важка точно з фіксованою міткою на лінійці установки.
5.Одночасно відпустити важок і запустити секундомір.
6.Визначити час, за який важок опуститься до нижньої
мітки.
7.Визначити відстань h між мітками.
8.Експеримент провести по 3-5 разів для однакового положення важків m2 для радіуса шківа r1, при різних масах важків m на нитці, а потім повторити те ж для радіуса шківа r2. Результати всіх вимірів занести в таблицю 2.5.1.
9.Для обчислення теоретичного значення моменту інерції маятника Обербека необхідно виміряти довжину стержня
хрестовини L , його діаметр d , визначити масу кожного з чотирьох важків m2, які знаходяться на хрестовині, і їх довжину
l0.
10. Виміряти відстань R0 від кожного важка до осі обертання. Дані вимірів записати в таблицю 2.5.2.
Обробка результатів експерименту та їх аналіз
1.За формулою (2.5.7) обчислити момент інерції маятника Обербека для різних радіусів двоступінчастого диска і маси важків m, знайти середнє його значення
2.Обчислити абсолютну і відносну похибки експерименту.
3.За формулою (2.5.12) обчислити теоретичний момент інерції маятника.
4.Порівняти результати, отримані з експерименту і
теоретичним шляхом, зробити відповідні висновки.
51
Контрольні питання
1.Основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла. Момент інерції, момент сили, момент імпульсу. Обчислення моментів інерції тіл. Теорема Штейнера ( с.16-25).
2.Кінетична енергія обертового та поступального рухів твердого тіла (с.18-20).
3.Закони збереження імпульсу, моменту імпульсу й енергії
вмеханіці. Консервативні та дисипативні сили(с. 7-11, 23-26).
4.Вкажіть основні джерела похибок при експериментальному і теоретичному визначенні моменту інерції маятника Обербека. Спробуйте оцінити їх величину. Оцініть вплив кожного доданка розрахункової формули (2.5.12) на точність розрахунків.
Таблиця. 2.5.1
|
|
m, |
h, |
Iтеор, |
|
|
r1= |
|
|
|
|
r2= |
|
|
||||
№ п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
кг |
м |
кг×м2 |
t, с |
I1експ, |
DI, |
t, с |
|
I2експ, |
DI, |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кг×м2 |
кг×м2 |
|
кг×м2 |
кг×м2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С. зн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2.5.2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
L |
|
|
d |
|
D |
|
m1 |
|
l0 |
|
R0 |
|
m2 |
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С. зн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
Лабораторна робота 1.6 Визначення моментів інерції твердих тіл
за допомогою трифілярного підвісу
Мета роботи. Набуття навичок експериментального визначення моментів інерції твердих довільної форми та перевірка теореми Штейнера.
Прилади і матеріали. 1. Трифілярний підвіс. 2. Набір тіл (дисків). 3. Секундомір. 4. Штангенциркуль. 5. Рулетка. 6. Терези.
Теоретичні відомості
На практиці часто необхідні значення моментів інерції неоднорідних твердих тіл і тіл неправильної форми. У таких випадках моменти інерції визначають експериментальним шляхом. Одним із методів визначення моментів інерції є метод трифілярного підвісу. Трифілярний підвіс – кругла платформа, підвішена на трьох симетрично розташованих нитках, закріплених на її краях. Зверху нитки також симетрично прикріплені до диску трохи меншого діаметру, ніж діаметр платформи.
Платформа може виконувати крутильні коливання навколо вертикальної осі ОО′ (рис. 2.6.1), яка перпендикулярна до її площини і проходить через її центр мас. Центр мас платформи при цьому зміщується внаслідок закручування сталевих ниток вверх або вниз по осі обертання. Період коливань залежить від величини моменту інерції платформи. Цей принцип лежить в основі визначення моменту інерції методом трифілярного підвісу. Він дає можливість визначати моменти інерції тіл довільної форми. Це основна перевага методу трифілярного підвісу над іншими методами.
Нехай платформа масою m0 , обертаючись в одному
напрямку, піднялася на висоту h . При цьому потенційна енергія платформи зросте на величину
Wп = m0 gh , |
(2.6.1) |
53
де g − прискорення вільного падіння. |
|
|||
|
B |
r |
O′ |
|
|
C1 |
α O1 |
|
|
h |
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
C |
|
O |
R |
|
|
|||
|
Рис. 2.6.1 |
|
||
При обертанні платформи у зворотному напрямку |
||||
потенціальна енергія перетворюється в кінетичну енергію |
||||
обертового руху |
|
|
|
|
WK |
= |
Iω 2 |
, |
(2.6.2) |
|
||||
|
2 |
|
|
|
де I − момент інерції платформи відносно осі ОО′ , ω − кутова швидкість платформи.
54
Платформа пройде положення рівноваги з максимальною кінетичною енергією. Нехтуючи силами тертя, виходячи із закону збереження механічної енергії, можна записати, що
m gh = |
Iω max2 |
, |
(2.6.3) |
|
|||
0 |
2 |
|
|
|
|
|
де ω max − кутова швидкість платформи в момент досягнення нею
положення рівноваги.
Вважаючи, що платформа виконує гармонійні крутильні коливання, можна записати залежність кута зсуву платформи від часу
α = α0 |
sin ω t = α0 |
sin |
2πt |
t , |
(2.6.4) |
|
|||||
|
|
|
T |
|
|
де α ,α0 − відповідно миттєве й амплітудне значення кута відхилення платформи від положення рівноваги, t − поточне значення часу, T − період коливань.
Знайдемо кутову швидкість платформи, взявши похідну від рівняння (2.6.4):
|
|
|
ω = |
dα |
= |
2πα 0 |
cos |
2π |
t . |
(2.6.5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
||||
Очевидно, максимальне значення кутова швидкість прийме |
||||||||||||||||||||||
при cos |
2π |
t = 1 . Отже |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
2πα 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ω max = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2.6.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо |
величину |
|
зміщення |
h |
платформи |
вгору при |
||||||||||||||||
повороті її на кут α0 , вважаючи, що h1 + h2 ≈ 2l (рис. 2.6.1): |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= h |
− h |
|
= |
|
h 2 |
− h 2 |
≈ |
|
h 2 |
|
− h2 |
|
|||||||
|
|
h |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
. |
(2.6.7) |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
+ h2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
2l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Із рис. 2.6.1 видно, що |
|
h 2 |
= l 2 |
− (R − r)2 , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h22 = l 2 - ( AB)2 |
= l 2 - (R 2 |
+ r 2 - 2Rr × cosα0 ) . |
|
|||||||||||
Підставивши значення h 2 |
і h 2 |
в (2.6.7), маємо |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
2Rr(1 - cosα0 ) |
|
|
|
4Rr sin 2 α0 |
|
||||||||
h = |
|
= |
|
|
|
2 |
. |
(2.6.8) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
При малих кутахα0 значення синуса можна замінити його |
||||||||||||||
аргументом sin α0 |
» α0 |
. Отже |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
Rrα 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
(2.6.9) |
||||
|
|
|
2l |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Із рівнянь (2.6.6), (2.6.9) випливає, що момент інерції I0 |
||||||||||||||
ненавантаженої платформи відносно осі ОО′ |
|
|||||||||||||
|
|
I |
|
= |
m0 gRr |
T 2 , |
(2.6.10) |
|||||||
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4π 2 l |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де T0 - період коливань ненавантаженої платформи.
Момент інерції платформи, навантаженої тілом довільної
форми з масою m відносно осі ОО′ дорівнює |
|
||
I = |
(m0 + m)gRr |
T 2 , |
(2.6.11) |
|
|||
|
4π 2 l |
|
|
де T − період коливань навантаженої платформи.
Момент інерції тіла, що знаходиться на платформі, відносно
осі ОО′ дорівнює |
|
IТ = I - I0 . |
(2.6.12) |
Якщо на платформі знаходиться n однакових тіл і вони розміщені симетрично центру або в центрі платформи, то момент інерції кожного з них дорівнює
IТ |
= |
I - I0 |
. |
(2.6.13) |
|
||||
|
|
n |
|
|
|
56 |
|
|
|
Інтервал вимірювання моментів інерції тіл на цій лабораторній установці залежить від величини моменту інерції ненавантаженої платформи. Для того, щоб отримати досить високу точність вимірювання моменту інерції тіла IT різниця
моментів інерції I − I0 повинна бути достатньо великою у порівнянні з значенням I0 , тому диск платформи виготовляють із легкого матеріалу.
В динаміці обертового руху важливу роль відіграє теорема Штейнера: Момент інерції тіла відносно довільної осі ZZ ′ дорівнює сумі моменту інерції цього тіло відносно паралельної осіОО′ , що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями
I |
z |
= I |
c |
+ ma 2 . |
(2.6.14) |
|
|
|
|
Теорему Штейнера легко перевірити за допомогою трифілярного підвісу. Для цього необхідно мати кілька однакових тіла правильної форми (диск, обруч). Спочатку визначають момент інерції одного або кількох тіл, розмістивши їх у центрі платформи так, щоб їх центр мас співпадав із віссю обертання платформи, а потім тіла розміщують симетрично на платформі і визначають їх момент інерції при такому розміщенні. Знайшовши момент інерції всіх тіл (формула 2.6.12) та поділивши його на кількість тіл, визначимо момент одного тіла, що знаходиться на відстані a від осі обертання. Визначивши відстань, масу і момент інерції тіла, покладеного в центр платформи, можна обчислити момент інерції цього тіла за теоремою Штейнера. Порівнявши отримані значення моментів інерції тіла, ми експериментально перевіримо теорему Штейнера.
57
Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту
1. Визначити геометричні розміри l, R, r установки та геометричні розміри RТ , rТ досліджуваних тіл. Зважити
платформу та тіла. Результати вимірів занести в таблицю 2.6.1. 2. Привести платформу у коливальний рух. Для цього
повернути нижню платформу на невеликий кут – 5-10° відносно положення рівноваги – і відпустити її. Секундоміром виміряти час 25-30 повних коливань і визначити період коливань (ненавантаженої платформи
T |
= |
t |
, |
(2.6.15) |
|
||||
0 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
де N − число повних коливань платформи за час t . |
|
|||
Обчислити момент інерції I 0 |
не |
завантаженої |
платформи |
|
(формула 2.6.10). Результати записати в таблицю 2.6.1.
3. У центрі платформи розмістити досліджуване тіло. Визначити період коливання платформи з тілом Т1 . Результати записати в таблицю 2.6.2. Обчислити момент інерції тіла за формулами (2.6.10), (2.6.11), (2.6.12).
4. У центрі платформи розмістити кілька тіл (бригада, порядковий номер якої парний, виконує роботу з двома тілами, а бригада, в якої порядковий номер непарний – з трьома). Визначити період коливання платформи з тілами в центрі T2 .
Результати записати в таблицю 2.6.2. Обчислити момент інерції тіла за формулами (2.6.10), (2.6.11), (2.6.12), (2.6.13).
5. На платформі симетрично центра розмістити тіла. Визначити відстань а від центра платформи до центра мас тіл та період коливань платформи Т3 .Результати записати в таблицю
2.6.2. Обчислити момент інерції I 3 тіла зміщеного відносно осі
58
ОО′ на відстань а за формулами (2.6.10), (2.6.11), (2.6.12), (2.6.13).
6.Обчислити теоретичне значення моменту інерції
ненавантаженої платформи I0T та тіл ITT (формули 1.48, 1.49,
1.50) відносно осі, що проходить через їх центр мас. Результат порівняти з експериментом.
7. За теоремою Штейнера (формула 2.6.14) обчислити теоретичне значення моменту інерції зміщеного диска. Порівняти експериментальне та теоретичне значення моменту інерції зміщеного диска відносно осі OO′ .
Контрольні питання
1.Момент інерції твердого тіла. Розрахунок моментів інерції простих тіл (диск, однорідний стержень, куля). Теорема Штейнера. Момент імпульсу. (с. 16-24).
2.Основне рівняння динаміки обертального руху (с.25-26).
3.Кінетична енергія тіла, яке бере участь в обертовому русі. Закон збереження енергії в механіці. Консервативні та дисипативні сили (с.1819, 9-12).
4.Переваги і недоліки методу трифілярного підвісу (с. 52-
58 ).
Таблиця 2.6.1. Дослідження характеристик установки.
Систематичні |
|
R= м |
|
|
l= |
м |
|
r= м |
|
|
|
mo= |
кг |
|||||||
похибки, |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
N |
t. |
T, |
|
dT, |
R, |
dR, |
r, |
|
dr, |
mo, |
dmo, |
l |
|
l, |
I0, |
|
eI, |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
% |
|
п/п |
с |
с |
|
с |
м |
м |
м |
м |
кг |
кг |
м, |
м |
кг м2 |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
- |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
- |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
- |
Ср. |
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R , r, mo_– |
|
систематичні похибки, δT, δr, δmo– |
випадкові |
|
|
|||||||||||||||
похибки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таблиця 1.2.2. Визначення моментів інерції тіл.
Одне тіло в центрі платформи
№ |
N1 |
t1, |
T1, |
dT1, |
m, |
Dm, |
dm, |
I1, |
DI1, |
|
dI1, |
eI, |
|
п/п |
|
|
с |
с |
с |
кг |
кг |
кг |
кг×м2 |
кг×м2 |
кг×м2 |
% |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
Ср. |
|
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кілька тіл (два або три) в центрі платформи |
|
|
||||||||
№ |
N2 |
t2, |
T2, |
dT2, |
m, |
Dm, |
dm, |
I2, |
DI2, |
|
dI2, |
eI, |
|
п/п |
|
|
с |
с |
с |
кг |
кг |
кг |
кг×м2 |
кг×м2 |
кг×м2 |
% |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
Ср. |
|
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кілька тіл (два або три) на відстані а центра платформи |
|
|||||||||||
№ |
N3 |
t3, |
T3, |
dT3, |
m, |
Dm, |
dm, |
I3, |
DI3, |
|
dI3, |
eI, |
|
п/п |
|
|
с |
с |
с |
кг |
кг |
кг |
кг×м2 |
кг×м2 |
кг×м2 |
% |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
– |
– |
Ср. |
|
– |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60