I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.

Якщо обчислюється , при цьому, тоді для спрощення при знаходженні відповіді такого інтеграла зручно ввести нову зміннуt=U(x), тоді

В новій змінній t наш інтеграл прийме вигляд .

Наприклад,.

ІІ. Метод інтегрування частинами.

Основна формула цього метода , U=U(x), V=V(x) Даний метод стандартно використовується, якщо під знаком інтеграла є добуток степеневої функції на тригонометричну чи показникову, присутність під інтегралом логарифмічної або будь-якої оберненої тригонометричної функції, добуток позикової функції на тригонометричну. Також цей метод доцільний в деяких окремих випадках. За функцію U(x) звичайно приймають степеневу функцію (при диференціюванні степінь х понижується), логарифмічну чи обернену тригонометричну (оскільки для цих функцій відносно легко знаходяться похідні згідно відповідної таблиці). В ряді випадків даний метод застосовують послідовно декілька разів.

Приклад2.

Корисним є обчислення інтеграла

Звідки .

Аналогічно .

Два останні інтеграли самі по собі є корисними, наприклад, в геометричних додатках означеного інтеграла. З іншого боку цими формулами можливо користуватись як уже готовими.

Наприклад,

.

ІІІ Метод інтегрування дробово-раціональних функцій.

Розглядається обчислення інтегралів вигляду, де,- многочлени відповідно зі степенемm і n змінної х. нагадаємо, що степінь многочлена встановлюється найбільшим показником степені х цього виразу. Якщо m<n, тоді дріб правильний, і його необхідно шляхом ділення многочлена чисельника на знаменник звести до суми многочлена результата ділення плюс уже правильний раціональний дріб. Згідно основної теореми алгебри многочлен завжди можливо записати у вигляді добутку лінійних на х множників типу, де k- кратність множника , на квадратні тричлени типу з від’ємним дискримінантом, тобто <0. Згідно цього

, де

• деякі неозначені константи, для знаходження яких складають і розв’язують деяку алгебраїчну систему шляхом прирівнювання на основі рівності чисельників від коефіцієнтів при відповідно однакових степенях х. отримані після цього доданки інтегруються за допомогою інших методів інтегрування.

Приклад 3

. Оскільки m=4, n=3-дріб під інтегралом неправильний. Тому , тоді . Для обчислення розглянемо дріб на суму простіших дробів:, звідки

Отже, =.

Знайдемо первісну ;

,тоді .

Тоді первісна може бути записана

. Остаточно відповідь початкового інтеграла буде .

ІV. Інтегрування ірраціональних функцій.

Якщо обчислюється , тоді корисним є скористатись підстановкою виду, деk – спільний знаменник дробів .

V. Інтегрування тригонометричних функцій.

1. Розглядаються інтеграли вигляду

А)Якщо , тоді

Б)Якщо , тоді

В)Якщо , тоді

Г)Якщо R- довільна функція тоді застосовують універсальну тригонометричну підстановку , звідки.

2.Розглядаються інтеграли .

А)Якщо >0 ,тоді

Б)Одне із чисел m чи n-непарне, наприклад, ,тоді

тобтоспрощує підінтегральний вираз.

В) Перетворення добутку тригонометричних функцій в суму згідно відомих співвідношень:

;

;

.

Приклад 4.

,функція під інтегралом непарна по sinx, тоді , отже

=.

Завдання 9

Знайти неозначені інтеграли.

Варіанти завдань для самостійного виконання

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20. _,

21. ..

22. .

23. .

24. ..

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .