матем.стат
.pdfМинистерство сельского хозяйства Российской Федерации
ФГБОУ «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I»
Факультет бухгалтерского учета и финансов
Кафедра прикладной математики и математических методов в экономике
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения по направлению 080100 – «Экономика»
Воронеж
2012
Составители: доценты кафедры прикладной математики и математических методов в экономике А.М. Слиденко, Ю.В. Некрасов, доцент кафедры высшей математики и теоретической механики С.Н. Дементьев, старший преподаватель кафедры прикладной математики и математических методов в экономике Т.А. Голенская.
Рецензент: кандидат экономических наук, доцент кафедры статистики и анализа хозяйственной деятельности предприятий АПК Т.А. Степанова
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры прикладной математики и математических методов в экономике (протокол № 3 от 1.11.2012г.)
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании методической комиссии факультета бухгалтерского учета и финансов ВГАУ (протокол № 3 от 22.11.2012г.)
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Программа курса «вероятностей»............................................. |
2 |
|
Общие методические указания.................................................. |
3 |
|
Рекомендуемая литература..........................................……….. |
4 |
|
Задачи контрольной работы ……………………………….. |
5 |
|
Решение типовых задач контрольной работы ……………… |
11 |
|
Примеры лабораторных работ в системе MATHCAD……... |
31 |
|
Приложение 1. |
Значения функции Лапласа (x).......................... |
57 |
Приложение 2. |
Критические точки распределения 2…………... |
59 |
Приложение 3. |
Критические точки распределения Стьюдента…… |
60 |
Приложение 4. |
Критические точки распределения Фишера………. |
61 |
ПРОГРАММАКУРСА «Математическаястатистика»
1. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочной метод. Статистиче-
2
ское распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
2.Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная
ивыборочная средние. Генеральная и выборочная дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия.
3.Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал. Доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения.
4.Проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака с помощью критерия Пирсона.
5.Понятие о дисперсионном анализе. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений. Общая, факторная и остаточная дисперсии. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа.
6.Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Условные средние. Выборочное уравнение регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Оценка значимости регрессии и коэффициента корреляции. Построение доверительных интервалов для коэффициентов уравнения прямой регрессии.
7.Понятие случайных процессов и их характеристик.
ОБЩИЕ МЕ ТОДИЧЕСКИЕ УК АЗАНИЯ
В первой части Методических указаний представлены задачи, составляющие содержание контрольной работы, а во второй предлагаются подробные решения задач каждого типа.
3
Контрольная работа должна быть выполнена в ученической тетради, на внешней обложке которой следует указать название контрольной работы, фамилию и инициалы студента, полный учебный шифр, место учебы.
Перед решением задач необходимо записывать их условия. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний преподавателя нужно оставлять поля.
В контрольной работе студент выполняет все те задачи, номера которых заканчиваются цифрой, совпадающей с последней цифрой его учебного шифра. Эта цифра является вариантом студента. Например, если Ваш учебный шифр заканчивается цифрой 4, то у Вас вариант 4 и Вы решаете задачи №№ 4, 14, 24, ... Если Ваш учебный шифр заканчивается цифрой 0, то у Вас вариант 0 и Вы решаете задачи №№ 10, 20, 30, ...
Контрольная работа должна быть представлена на проверку преподавателем не позднее трех недель до начала экзаменационной сессии.
К экзамену студент допускается лишь в случае, если его контрольная работа зачтена.
РЕКОМЕ НДУЕМАЯ ЛИТ ЕРАТУРА
1.Основы теории вероятностей и математической статистики с использованием компьютерного пакета Mathcad: [учебное пособие для студентов по экономическим специальностям] /С.Н. Дементьев, А.М. Слиденко, С.О. Стрыгина.–Воронеж: ФГОУ ВПО Воронежский ГАУ, 2010.–206 с.
2.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер–М.: ЮНИТИДАНА, 2001.–543 с.
3.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов / В.Е. Гмурман 3-е изд. М.: Высшая школа, 1999. 400 c.
4
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В ЗАДАЧАХ 1–10 признак X представлен таблицей, которая является выборкой его значений, полученных в результате
100независимых наблюдений. Требуется:
1.Составить интервальное выборочное распределение.
2.Построить гистограмму относительных частот.
3.Перейти от составленного интервального к точечному выборочному распределению, взяв при этом за значения признака середины частичных интервалов.
4.Построить полигон относительных частот.
5.Получить аналитический вид эмпирической функции рас-
пределения F (x) и построить ее график.
6. Вычислить все точечные выборочные оценки числовых характеристик признака: выборочное среднее x ; выборочную
дисперсию x2 и исправленную выборочную дисперсию s2; выборочное среднее квадратичное отклонение x и исправленное выборочное с.к.o. s.
7.Считая первый столбец таблицы выборкой значений нормально распределенного признака Y, построить доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание
идисперсию этого признака с надежностью 0,95.
8.При уровне значимости 0,05 проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении признака Х.
9.Считая, что первый и второй столбцы заданной таблицы являются выборками значений нормально распределенных признаков Y и Z соответственно, проверить при уровне значимости
0,05 гипотезу Н0 : D(Y) D(Z).
5
1. |
51,5 |
55,3 |
42,3 |
43,3 |
59,5 |
60,6 |
86,1 |
43,3 |
77,8 |
59,6 |
|
11,3 |
22,3 |
46,3 |
22,8 |
47,3 |
45,3 |
43,8 |
56,3 |
50,3 |
50,0 |
|
76,3 |
64,3 |
16,6 |
56,3 |
47,8 |
54,3 |
64,1 |
79,8 |
68,3 |
35,8 |
|
51,2 |
50,1 |
51,0 |
70,8 |
31,3 |
33,3 |
23,7 |
53,3 |
71,7 |
58,5 |
|
25,1 |
51,3 |
72,5 |
24,3 |
49,1 |
48,7 |
52,1 |
79,6 |
28,3 |
57,9 |
|
52,6 |
59,9 |
29,7 |
43,7 |
55,7 |
53,0 |
50,1 |
50,7 |
58,8 |
46,7 |
|
34,8 |
51,3 |
28,3 |
41,0 |
58,8 |
49,1 |
19,7 |
36,9 |
29,7 |
38,9 |
|
50,8 |
28,0 |
35,3 |
69,9 |
30,6 |
64,0 |
32,5 |
45,1 |
45,3 |
70,4 |
|
47,6 |
78,0 |
38,4 |
70,5 |
40,6 |
31,3 |
44,3 |
47,4 |
91,3 |
64,3 |
|
31,3 |
45,1 |
66,1 |
23,3 |
40,1 |
43,6 |
66,1 |
42,3 |
19,1 |
31,3 |
2. |
66,7 |
70,5 |
57,5 |
58,5 |
74,7 |
75,8 |
99,9 |
58,5 |
93,0 |
74,8 |
|
26,7 |
37,5 |
61,5 |
38,0 |
62,5 |
60,5 |
59,0 |
71,5 |
65,5 |
65,2 |
|
91,5 |
79,5 |
31,8 |
71,5 |
63,0 |
69,5 |
79,3 |
95,0 |
83,5 |
51,0 |
|
66,4 |
65,3 |
66,2 |
85,5 |
46,5 |
48,5 |
36,9 |
68,5 |
86,9 |
73,7 |
|
40,3 |
66,5 |
87,7 |
39,5 |
64,3 |
63,9 |
67,3 |
94,8 |
43,5 |
73,1 |
|
67,8 |
75,1 |
44,9 |
58,9 |
70,9 |
68,2 |
65,3 |
65,9 |
74,0 |
63,9 |
|
50,0 |
66,5 |
43,5 |
56,2 |
74,0 |
64,3 |
34,9 |
52,1 |
44,9 |
54,1 |
|
66,0 |
43,2 |
70,5 |
85,1 |
45,8 |
79,2 |
47,7 |
60,3 |
60,5 |
85,6 |
|
62,8 |
93,2 |
53,6 |
85,7 |
55,8 |
46,5 |
59,5 |
62,6 |
92,8 |
79,5 |
|
46,5 |
60,3 |
81,3 |
38,5 |
55,3 |
58,8 |
81,3 |
57,5 |
34,3 |
46,5 |
3. |
64,5 |
68,3 |
55,3 |
72,5 |
73,6 |
99,1 |
56,3 |
90,8 |
72,6 |
56,3 |
|
19,2 |
35,3 |
59,3 |
60,2 |
58,3 |
56,8 |
69,3 |
63,3 |
63,0 |
36,8 |
|
89,3 |
77,3 |
29,6 |
69,3 |
60,8 |
67,3 |
77,1 |
92,8 |
81,3 |
48,8 |
|
24,3 |
63,1 |
64,0 |
83,3 |
44,3 |
46,3 |
36,7 |
66,3 |
84,7 |
71,5 |
|
38,1 |
64,3 |
85,5 |
37,3 |
62,1 |
61,7 |
65,1 |
92,6 |
41,3 |
70,9 |
|
65,6 |
72,9 |
42,7 |
56,7 |
68,7 |
66,0 |
63,1 |
63,7 |
71,8 |
61,7 |
|
47,8 |
64,3 |
41,3 |
54,0 |
71,8 |
62,1 |
32,7 |
49,9 |
42,7 |
51,9 |
|
63,8 |
41,0 |
68,3 |
82,9 |
43,6 |
77,0 |
45,5 |
58,1 |
58,3 |
83,4 |
|
60,6 |
91,0 |
51,4 |
83,5 |
53,6 |
44,3 |
57,3 |
60,4 |
99,2 |
77,3 |
|
44,3 |
58,1 |
79,1 |
36,3 |
53,1 |
56,6 |
79,1 |
55,3 |
32,1 |
44,3 |
6
4. |
54,2 |
58,0 |
45,0 |
46,0 |
62,2 |
63,3 |
88,8 |
46,0 |
80,5 |
62,3 |
|
14,0 |
25,0 |
49,0 |
25,5 |
50,0 |
48,0 |
46,5 |
59,0 |
53,0 |
52,7 |
|
79,0 |
67,0 |
19,3 |
59,0 |
50,5 |
57,0 |
66,8 |
82,5 |
71,0 |
38,5 |
|
53,9 |
52,8 |
53,7 |
73,0 |
34,0 |
36,0 |
26,4 |
56,0 |
74,4 |
61,2 |
|
27,8 |
54,0 |
75,2 |
27,0 |
51,8 |
51,4 |
54,8 |
82,3 |
31,0 |
60,6 |
|
55,3 |
62,6 |
32,4 |
46,4 |
58,4 |
55,7 |
52,8 |
53,4 |
61,5 |
51,4 |
|
37,5 |
54,0 |
31,0 |
43,7 |
61,5 |
51,8 |
22,4 |
39,6 |
32,4 |
41,6 |
|
53,5 |
30,7 |
58,0 |
72,6 |
33,3 |
66,7 |
35,2 |
47,8 |
48,0 |
73,1 |
|
50,3 |
80,7 |
41,1 |
73,2 |
43,3 |
34,0 |
47,0 |
50,1 |
94,0 |
67,0 |
|
34,0 |
47,8 |
68,8 |
26,0 |
42,8 |
46,3 |
68,8 |
45,0 |
21,8 |
34,7 |
5. |
54,3 |
58,1 |
45,1 |
46,1 |
62,3 |
63,4 |
88,9 |
46,1 |
60,6 |
62,4 |
|
14,1 |
25,1 |
49,1 |
25,6 |
50,1 |
48,1 |
46,6 |
59,1 |
53,1 |
52,8 |
|
79,1 |
67,1 |
19,4 |
59,1 |
50,6 |
57,1 |
66,9 |
82,6 |
71,1 |
38,6 |
|
54,0 |
52,9 |
53,8 |
73,1 |
34,1 |
36,1 |
26,5 |
56,1 |
74,5 |
63,1 |
|
27,9 |
54,1 |
75,3 |
27,1 |
51,9 |
51,5 |
54,9 |
82,4 |
31,1 |
60,7 |
|
55,4 |
62,7 |
32,5 |
46,5 |
58,5 |
55,8 |
52,9 |
53,5 |
61,6 |
51,7 |
|
37,6 |
54,1 |
31,1 |
43,8 |
61,6 |
51,9 |
22,5 |
39,7 |
32,5 |
41,7 |
|
53,6 |
30,8 |
58,1 |
72,7 |
33,4 |
66,8 |
35,3 |
47,9 |
48,1 |
73,2 |
|
50,4 |
80,8 |
41,2 |
73,3 |
43,4 |
34,1 |
47,1 |
50,2 |
94,1 |
67,1 |
|
34,2 |
47,9 |
68,9 |
26,1 |
42,9 |
46,4 |
68,9 |
45,1 |
21,9 |
34,1 |
6. |
51,4 |
55,2 |
42,2 |
43,2 |
59,4 |
60,5 |
86,0 |
43,2 |
77,7 |
59,5 |
|
11,2 |
22,2 |
46,2 |
47,2 |
45,2 |
43,7 |
56,2 |
50,2 |
49,9 |
22,7 |
|
76,2 |
64,2 |
16,5 |
56,2 |
47,7 |
54,2 |
64,0 |
79,7 |
68,2 |
35,7 |
|
51,1 |
50,0 |
50,9 |
7,2 |
31,2 |
33,2 |
23,6 |
53,2 |
71,6 |
58,4 |
|
25,0 |
51,2 |
72,4 |
24,2 |
49,0 |
56,6 |
52,0 |
79,5 |
28,2 |
57,8 |
|
52,5 |
59,8 |
29,6 |
43,6 |
55,6 |
52,9 |
50,0 |
50,6 |
58,7 |
48,6 |
|
34,7 |
51,2 |
28,2 |
40,9 |
58,7 |
49,0 |
19,6 |
36,8 |
29,6 |
38,8 |
|
50,7 |
27,9 |
55,2 |
69,8 |
30,5 |
63,9 |
32,4 |
45,0 |
45,2 |
70,3 |
|
47,5 |
77,9 |
38,3 |
70,4 |
40,5 |
31,2 |
44,2 |
47,3 |
91,2 |
64,2 |
|
31,3 |
45,0 |
66,0 |
23,2 |
40,0 |
43,5 |
66,0 |
42,2 |
19,0 |
31,2 |
7
7. |
54,5 |
58,3 |
45,3 |
46,3 |
62,5 |
63,6 |
89,1 |
46,4 |
80,8 |
62,6 |
|
14,3 |
25,3 |
49,3 |
25,8 |
61,8 |
48,3 |
46,8 |
59,3 |
53,3 |
53,0 |
|
79,3 |
67,3 |
19,6 |
59,3 |
50,3 |
57,3 |
61,7 |
82,8 |
71,3 |
38,8 |
|
54,2 |
53,1 |
54,0 |
73,8 |
50,8 |
36,3 |
25,7 |
56,3 |
74,7 |
61,5 |
|
28,1 |
54,3 |
75,5 |
27,3 |
34,3 |
51,7 |
55,1 |
82,6 |
31,3 |
60,9 |
|
55,6 |
62,9 |
32,7 |
46,7 |
52,1 |
56,0 |
53,1 |
53,7 |
61,8 |
51,7 |
|
37,8 |
54,3 |
31,3 |
44,0 |
58,7 |
52,1 |
22,7 |
39,9 |
32,7 |
41,9 |
|
53,8 |
31,0 |
58,3 |
72,9 |
33,6 |
67,0 |
35,5 |
48,1 |
48,3 |
73,4 |
|
50,6 |
81,0 |
41,4 |
73,5 |
43,6 |
34,3 |
47,3 |
50,4 |
94,3 |
67,3 |
|
34,3 |
48,1 |
69,1 |
26,3 |
43,1 |
46,6 |
69,1 |
45,3 |
22,1 |
34,3 |
8. |
42,8 |
46,6 |
33,6 |
34,6 |
50,8 |
51,9 |
77,4 |
34,6 |
69,1 |
50,9 |
|
2,6 |
13,6 |
37,6 |
14,1 |
38,6 |
36,6 |
35,1 |
47,6 |
41,6 |
41,3 |
|
67,6 |
55,6 |
7,9 |
47,6 |
39,1 |
45,6 |
55,4 |
71,1 |
59,6 |
27,1 |
|
42,5 |
41,4 |
42,3 |
61,6 |
22,6 |
24,6 |
15,0 |
44,6 |
63,0 |
49,8 |
|
16,4 |
42,6 |
63,8 |
15,6 |
40,4 |
40,0 |
43,4 |
70,9 |
19,6 |
49,2 |
|
43,9 |
51,2 |
21,0 |
35,0 |
47,0 |
44,3 |
41,4 |
42,0 |
50,1 |
40,2 |
|
26,1 |
42,6 |
19,6 |
32,3 |
50,1 |
40,4 |
11,0 |
28,2 |
21,0 |
30,2 |
|
42,1 |
19,3 |
46,6 |
61,2 |
21,9 |
55,3 |
23,8 |
36,4 |
36,6 |
61,7 |
|
38,9 |
69,3 |
29,7 |
61,8 |
81,9 |
22,6 |
35,6 |
38,7 |
82,6 |
55,6 |
|
22,6 |
36,4 |
57,4 |
14,6 |
31,4 |
34,9 |
57,4 |
33,6 |
10,4 |
22,6 |
9. |
56,7 |
60,5 |
47,5 |
48,5 |
64,7 |
65,8 |
91,3 |
48,5 |
83,0 |
64,8 |
|
16,5 |
27,5 |
51,5 |
28,0 |
52,5 |
50,5 |
49,0 |
61,5 |
55,5 |
55,2 |
|
81,5 |
69,5 |
21,8 |
61,5 |
53,0 |
59,5 |
69,3 |
85,0 |
73,5 |
41,0 |
|
56,4 |
55,3 |
56,2 |
75,5 |
36,5 |
38,5 |
26,9 |
58,5 |
76,9 |
63,7 |
|
30,3 |
56,5 |
77,7 |
29,5 |
54,3 |
53,9 |
57,3 |
84,8 |
33,5 |
63,1 |
|
57,8 |
65,1 |
34,9 |
60,9 |
58,2 |
55,3 |
55,9 |
64,0 |
53,9 |
48,9 |
|
40,0 |
56,5 |
33,5 |
46,2 |
64,0 |
54,3 |
24,9 |
42,1 |
44,9 |
44,1 |
|
56,0 |
33,2 |
60,5 |
75,1 |
35,8 |
69,2 |
37,7 |
50,3 |
50,5 |
75,6 |
|
52,8 |
83,2 |
43,6 |
75,7 |
45,8 |
36,5 |
49,5 |
52,6 |
96,5 |
69,5 |
|
36,5 |
50,3 |
71,3 |
28,5 |
45,3 |
48,8 |
71,3 |
47,5 |
24,3 |
36,5 |
8
10. |
54,1 |
57,9 |
44,9 |
45,9 |
62,1 |
62,2 |
88,7 |
45,8 |
80,4 |
63,2 |
|
13,9 |
24,9 |
48,9 |
47,9 |
46,4 |
58,9 |
52,9 |
52,6 |
25,4 |
49,9 |
|
78,9 |
65,9 |
19,2 |
58,9 |
50,4 |
56,9 |
66,7 |
82,4 |
70,9 |
38,4 |
|
53,8 |
52,7 |
53,6 |
72,6 |
33,9 |
35,9 |
26,3 |
55,9 |
74,3 |
61,1 |
|
27,7 |
53,9 |
75,1 |
26,9 |
51,8 |
51,3 |
54,7 |
82,2 |
30,9 |
60,5 |
|
55,2 |
62,5 |
32,3 |
46,3 |
58,3 |
55,6 |
52,7 |
53,1 |
61,4 |
51,3 |
|
37,4 |
53,9 |
30,9 |
43,6 |
61,4 |
51,7 |
22,3 |
39,5 |
32,3 |
41,5 |
|
53,4 |
30,6 |
57,9 |
75,2 |
33,2 |
66,6 |
35,1 |
47,7 |
47,9 |
73,0 |
|
50,2 |
80,6 |
41,0 |
73,1 |
43,2 |
33,9 |
46,9 |
50,0 |
93,9 |
66,9 |
|
33,9 |
47,7 |
68,7 |
25,9 |
42,7 |
46,2 |
68,7 |
44,9 |
21,7 |
33,9 |
В ЗАДАЧАХ 11–20 даны таблицы с выборками пар значений признаков X и Y. Требуется:
1.Вычислить выборочный коэффициент корреляции r и сделать выводы о тесноте и направлении линейной корреляционной зависимости между признаками X и Y.
2.При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
3.Составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X, построить полученную прямую в системе координат вместе с исходными данными.
4.Вычислить коэффициент детерминации R2 и оценить качество регрессии.
5.При уровне значимости 0,05 оценить значимость регрессии с помощью критерия Фишера.
6.При уровне значимости 0,05 получить доверительные интервалы для оценки генеральных параметров регрессии.
9
11. |
xi |
5 |
10 |
15 |
18 |
23 |
19 |
22 |
18 |
|
|
yi |
7 |
9 |
19 |
17 |
24 |
22 |
18 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
xi |
3 |
7 |
12 |
13 |
21 |
19 |
16 |
17 |
|
|
yi |
5 |
14 |
16 |
10 |
23 |
22 |
20 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
xi |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
9 |
10 |
|
|
yi |
6 |
8 |
11 |
7 |
14 |
17 |
15 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
xi |
2 |
5 |
8 |
4 |
3 |
13 |
9 |
5 |
|
|
yi |
4 |
9 |
12 |
6 |
8 |
16 |
16 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
xi |
3 |
7 |
8 |
11 |
13 |
8 |
10 |
12 |
|
|
yi |
21 |
9 |
9 |
6 |
4 |
14 |
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
xi |
1 |
5 |
7 |
13 |
18 |
19 |
21 |
17 |
|
|
yi |
2 |
14 |
13 |
14 |
21 |
20 |
26 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
xi |
2 |
7 |
3 |
12 |
8 |
9 |
10 |
4 |
|
|
yi |
1 |
4 |
1 |
7 |
7 |
5 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
xi |
2 |
7 |
3 |
12 |
8 |
9 |
10 |
4 |
|
|
yi |
9 |
9 |
10 |
9 |
8 |
8 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
xi |
3 |
5 |
2 |
6 |
7 |
10 |
12 |
4 |
|
|
yi |
11 |
12 |
8 |
9 |
12 |
7 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
xi |
3 |
5 |
2 |
6 |
7 |
10 |
12 |
4 |
|
|
yi |
6 |
5 |
3 |
5 |
4 |
7 |
8 |
4 |
|
10