3. Прямая на плоскости

Прямоугольные координаты на плоскости. Точка М на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат xОy задается координатами x и y и обозначается М(x, y).

Расстояние d между двумя точками на плоскости М₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) определяется по формуле .

Координаты точки м(X, y), которая делит отрезок между точкамиМ1(x1,y1) иМ2(x2,y2) в отношенииλ , находятся по формулам

.

Координаты середины отрезка М₁М₂ находятся из условия λ=1 и равны .

Основные виды уравнений прямой на плоскости.

1) -общее уравнение прямой.

2) -уравнение прямой, проходящей через точку М₁(x₁, y₁) перпендикулярно нормальному вектору .

3) -каноническое уравнение прямой, т.е. уравнение прямой, проходящей через точкуМ₁(x₁,y₁) параллельно направляющему вектору.

4) -уравнение прямой, проходящей через две точкиМ₁(x₁,y₁) иМ₂(x₂,y₂) .

5) y = k x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом , где (α - угол наклона к оси Оx ) , b - ордината точки пересечения прямой с осью Оy .

6) - векторное уравнение прямой , где - радиус-вектор произвольной точкиМ(x,y) прямой, - радиус-вектор точкиМ₀(x₀, y₀) прямой,- направляющий вектор прямой . Из векторного уравнения можно получить параметрическое уравнение прямой.

.

7) -уравнение прямой в отрезках , где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох , b - ордината точки пересечения прямой с осью Оy .

Угол между двумя прямыми.

Угол между прямыми y = k₁ x + b₁ и y = k₂ x + b₂ определяется по формуле.

Условие параллельности прямых : k₁=k₂ .

Условие перпендикулярности прямых : 1+ k₁k₂ =0 .

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки М₁(x₁, y₁)до прямой находится по формуле .

Пример. Задан ΔАВС координатами своих вершин А (1,2) , В (2,-2), С (6,1) . Требуется :

1. найти уравнение стороны АВ ;

2. найти уравнение высоты СD и ее длину

3. найти уравнение медианы ВМ и угол между медианой ВМ и высотой СD.

Решение.

1) уравнение стороны АВ можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через две точки А (1,2) , В (2,-2). Полагая х₁ = 1 , y₁ = 2 , х₂ = 2 , y₂ = -2 и подставляя в уравнение

, получаем или. Данное уравнение можно преобразовать к общему уравнению прямой- 4 ( х - 1 ) = y – 2 ⇒ - 4 х + 4 – y + 2 = 0 ⇒ 4 x + y – 6 = 0 ,

где нормальный вектор . Из общего уравнения прямой можно прийти к уравнению прямой с угловым коэффициентомy = - 4 x + 6 , где k = - 4.

2) уравнение высоты CD можно рассматривать как прямую, проходящую через точку С параллельно нормальному вектору и прямойАВ, т.е. вектор является направляющим вектором для прямойCD . Тогда, пользуясь уравнением , получим, или в общем видеx – 4 y – 2 = 0 .

Длину высоты CD находим как расстояние от точки С до прямой АВ :

.

3) Для того, чтобы найти уравнение медианы ВМ , найдем координаты точки М , как середины стороны АС .

.

Уравнение медианы ВМ получим как уравнение прямой, проходящей через две точки В и М .

или .

Для нахождения угла между высотой CD и медианой ВМ найдем их угловые коэффициенты. Из уравнения CD находим угловой коэффициент , а из уравненияВМ - . Тогда угол между двумя прямыми равен

.

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку А(1,2) и параллельно прямой 3 х + 2 y + 2 = 0 . Найти координаты точки М , расположенной симметрично точке А относительно данной прямой.

Решение . Так как прямая, проходящая через точку А, должна быть параллельна прямой 3 х + 2 y + 2 = 0 , нормальные вектора у них одни и те же, тогда искомая прямая запишется как прямая , проходящая через точку А перпендикулярно вектору , т.е.

3( х – 1) + 2 ( y – 2) = 0 или 3 х + 2 y - 7 = 0 .

Для нахождения точки М , симметричной точке А , найдем уравнение прямой , проходящей через точку А перпендикулярно прямой 3 х + 2 y + 2 = 0 . Это уравнение прямой , проходящей через точку А параллельно нормальному вектору , т.е.

или 2 х - 3 y + 4 = 0 .

Найдем точку пересечения данных прямых , т.е. решим систему .

Эта точка является серединой отрезка АМ , поэтому справедливы соотношения , откуда и найдем координаты точкиМ : .

Задание 3.1.

Составить уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно и перпендикулярно данной прямой :

1. А ( 1 , 2 ) , х + y + 5 = 0 .

2. А ( 3 , 2 ) , 2 х + 3 y + 1 = 0 .

3. А ( 0 , 1 ) , х + 4 y + 5 = 0 .

4. А ( 1 , 1 ) , 2 х + y - 4 = 0 .

5. А ( 1 , 3 ) , 3 х - 5 y + 7 = 0 .

6. А ( -1 , 2 ) , 2 х + 5 y + 3 = 0 .

7. А ( 2 , 3 ) , х + 2 y + 4 = 0 .

8. А ( 1 , 7 ) , х - y + 2 = 0 .

9. А ( 3 , 2 ) , х + 8 y - 1 = 0 .

10. А ( -8 , -10 ) , х + 2 y + 5 = 0 .

11. А ( -5 , 3 ) , 2 х + 3 y + 5 = 0 .

12. А ( -4 , -8 ) , 3 х + 7 y - 1 = 0 .

13. А ( 5 , 10 ) , 4 х + 3 y - 8 = 0 .

14. А ( 8 , 14 ) , -5 х + 3 y + 5 = 0 .

15. А ( -1 , -2 ) , х - 3 y + 1 = 0 .

16. А ( 2 , 3 ) , х - 7 y + 5 = 0 .

17. А ( 3 , 0 ) , -5 х + 2 y + 5 = 0 .

18. А ( 4 , 3 ) , 3 х + 2 y - 1 = 0 .

19. А ( 2 , -7 ) , х - y + 7 = 0 .

20. А ( 1 , 3 ) , х + 3 y - 5 = 0 .

21. А ( 7 , -5 ) , 2 х - 3 y + 1 = 0 .

22. А ( 6 , -8 ) , х + 3 y + 7 = 0 .

23. А ( 9 , -1 ) , 2 х - 4 y + 5 = 0 .

24. А ( 20 , -8 ) , х - 3 y + 5 = 0 .

25. А ( 6 , -5 ) , 2 х - 3 y + 5 = 0 .

26. А ( -7 , 9 ) , 3 х - y + 3 = 0 .

27. А ( -3 , 7 ) , 2 х - 3 y - 1 = 0 .

28. А ( -2 , 8 ) , 5 х - 3 y + 5 = 0 .

29. А ( -1 , 7 ) , 6 х - 4 y - 1 = 0 .

30. А ( 4 , 0 ) , 5 х - 10 y - 2 = 0 .

Задание 3.2.

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1. длины сторон;

2. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3. угол В;

4. уравнение высоты СД и ее длину;

5. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД;

6. уравнение прямой проходящей через точку К параллельно стороне АВ. Сделать чертеж.

1 .А(-8, -6), В(4, -12), С(8, 10) 2 .А(-5, 7), В(7, -2), С(11, 20)

3. А(-10, 9), В(2, 0), C(6, 22) 4. A(0, 2), B(12, -7), C(16, 15)

5. A(-9, 6), B(3, -3), C(7, 19) 6. A(1, 0), B(13, -9), C(17, 13)

7. A(-4, 8), B(8, 1), C(12, 23) 8. A(2, 5), B(14, -4), C(18, 18)

9. A(-1, 4), B(11, -5), C(15, 17) 10 .A(-2, 7), B(10, -2), C(8, 12)

11. A(-6, 8), B(6, -1), C(4, 13) 12. A(3, 6), B(15, -3), C(13, 11)

13. A(-10, 5), B(2, -4), C(0, 10) 14. A(-4, 12), B(8, 3), C(6, 17)

15. A(-3, 10), B(9, 1), C(7, 15) 16. A(4, 1), B(16, -8), C(14, 6)

17. A(-7, 4), B(5, -5), C(3, 9) 18. A(0, 3), B(12, -6), C(10, 8)

19. A(-5, 9), B(7, 0), C(5, 14) 20. A(-4, 6), B(7, 0), C(5, 14)

21. A(-6, 8), B(6, -8), C(9, 13) 22. A(-8, 10), B(4, -6), C(7, 15)

23. A(-10, 4), B(2, -12), C(5, 9) 24. A(-2, 7), B(10, -9), C(13, 12)

25. A(-5, 9), B(7, -7), C(10, 14) 26. A(-3, 11), B(9, -5), C(12, 16)

27. A(-7, 13), B(5, -3), C(8, 18) 28. A(-11, 12), B(1, -4), C(4, 17)

29. A(-9, 5), B(3, -11), C(6, 10) 30. A(0, 1), B(3, 10), C(13, 4)