Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-4 Методичка2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

976.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

2. Векторы и операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий определенную длину.

Обозначают или. Длина вектора - модуль,

обозначают ,.

Нуль-вектор - - вектор, не имеющий определенного направления, и модуль.

Вектора, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор (-) называютпротивоположным вектору , он коллинеарен векторуи направлен в противоположную сторону.

Сложение:

по правилу треугольника; по правилу параллелограмма.

Вычитание:

Произведением вектора на числоназывается вектор, модуль которого, и направление совпадает с направлением, если, и противоположно, если.

Вектора, лежащие на одной или параллельных плоскостях называются компланарными .

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуют числа λ₁, λ₂ , … , λ_nтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и . В противном случае система называетсялинейно независимой .

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве называется базисом .

Вектора - попарно перпендикулярны и, имеющие единичную длину, обозначают прямоугольный декартов базис. Всякий векторможет быть единственным образом представлен как

, где - называются координатами вектора в базисе () и представляют собой проекции векторана осиx, y, z .

а_z

a_y

a_x

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов иназывается число.

Если вектора заданы координатами ,, то скалярное произведение.

Из формулы нахождения скалярного произведения можно находить косинус угла между двумя векторами

Векторное произведение векторов. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, определяемый тремя условиями :

модуль вектора численно равен площади параллелограмма , построенного на векторахи, как на сторонах;
вектор и;
вектора образуют правую тройку, т. е. если смотреть с конца векторана вектораи, то поворот от векторакпо кратчайшему расстоянию виден совершающимся против часовой стрелки.

Если вектора изаданы координатами, , то векторное произведение находится так

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами

А ( 1,1,1 ), В ( 2,5,7 ), С ( 3,2,4 ) .

Решение. Рассмотрим вектора .

Найдем их векторное произведение

Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах

Тогда площадь ΔАВС будет равна половине площади параллелограмма S_Δ=.

Смешанное произведение . Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторно-скалярному произведению векторов. Геометрически смешанное произведение с точностью до знака численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.Смешанное произведение через координаты векторов выражается в виде

Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение=0 и наоборот.

Пример. Найти объем тетраэдра с вершинами

А ( 2,-3,5 ), В ( 0,2,1 ), С ( -2,-2,3 ), D( 3,2,4 ).

Решение. Рассмотрим три вектора :

Найдем смешанное произведение этих векторов:

Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, тогда

V_ABCD= .

Задание 2.1.

1. Дан равносторонний треугольник АВС. Найти построением векторы .

В треугольнике ОАВ проведена медиана ОС. Доказать, что .

3. При каких значениях α и β векторы иколлинеарны ?

4. По данным векторам ипостроить каждый из следующих:.

5. Заданы векторы ,,. Найти : координаты вектора; разложение векторапо базису () .

6. Дан треугольник АВС . На стороне ВС расположена точка М так, что . Найти, если.

7. В трапеции ABCD . Выразитьчерез .

8. Вне плоскости треугольника АВС взята точка О . Построить векторы .

9. ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей. Выразить через векторы.

10. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и. Выразить черезивекторы.

Выразить векторы–медианы треугольника АВС через два вектора - стороны его.

12. ABCD- параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей , . Выразить черезвекторы.

13. ABCD - параллелограмм, . Выразить черезивекторы, гдеМ - точка пересечения диагоналей.

14. ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей . Выразить через векторы.

15. В треугольнике АВС сторона АВ точками М и Р разделена на три части так, что . Найти вектор, если.

16. ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед с основанием ABCD . Выразить векторы ВD₁ и DВ₁через .

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ( S - вершина ). Выразить через векторы , совпадающие с остальными ребрами пирамиды.

18. На основании треугольникаОАВ отложен отрезок . Выразить векторчерез векторы.

19. В прямой треугольной призме АВСА₁В₁С₁ дано: . Выразить черезвекторы, совпадающие с ребрами этой призмы.

20. Основание АВ треугольника разделено точкой М в соотношении 2 : 3 . Выразить вектор через.

21. Треугольник АВС построен на векторах итак, что. Выразить черезивекторы, совпадающие с медианами данного треугольника.

22. В ромбе АВСD даны диагонали . Разложить по этим векторам все векторы , совпадающие со сторонами ромба :.

23. - медианы треугольникаАВС . Доказать равенство .

24. Заданы векторы . Найти координаты вектора.

25. Заданы векторы . Найти координаты вектора.

26. Дан вектор . Найти вектор, если.

27. Найти длину вектора .

28. М – точка пересечения медиан треугольника АВС , О - произвольная точка пространства. Доказать равенство .

29. Даны векторы и. Проверить следующую формулу.

Проверить на рисунке следующие формулы : .

Задание 2.2.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Требуется :

1) найти векторы и их модули ;

2) найти угол между векторами ;

3) найти площадь грани АВС ;

4) найти объем пирамиды .

А ( 2,-3,1 ) , В ( 6,1,-1 ) , С ( 4,8,-9 ) , D ( 2,-1,2 ).
А ( 5,-1,-4 ) , В ( 9,3,-6 ) , С ( 7,10,-14 ) , D ( 5,1,-3 ).
А ( 1,-4,0 ) , В ( 5,0,-2 ) , С ( 3,7,-10 ) , D ( 1,-2,1 ).
А ( -3,-6,2 ) , В ( 1,-2,0 ) , С ( -1,5,-8 ) , D ( -3,-4,3 ).
А ( -1,1,-5 ) , В ( 3,5,-7 ) , С ( 1,12,-15 ) , D ( -1,3,-4 ).
А ( -4,2,-1 ) , В ( 0,6,-3 ) , С ( -2,13,-11 ) , D ( -4,4,0 ).
А ( 0,4,3 ) , В ( 4,8,1 ) , С ( 2,15,-7 ) , D ( 0,6,4 ).
А ( -2,0,-2 ) , В ( 2,4,-4 ) , С ( 0,11,-12 ) , D ( -2,2,-1 ).
А ( 3,3,-3 ) , В ( 7,7,-5 ) , С ( 5,14,-13 ) , D ( 3,5,-2 ).
А ( 4,-2,5 ) , В ( 8,2,3 ) , С ( 6,9,-5 ) , D ( 4,0,6 ).
А ( -5,0,1 ) , В ( -4,-2,3 ) , С ( 6,2,11 ) , D ( 3,4,9 ).
А ( 1,-4,0 ) , В ( 2,-6,2 ) , С ( 12,-2,10 ) , D ( 9,0,8 ).
А ( -1,-2,-8 ) , В ( 0,-4,-6 ) , С ( 10,0,2 ) , D ( 7,2,0 ).
А ( 0,2,-10 ) , В ( 1,0,-8 ) , С ( 11,4,0 ) , D ( 8,6,-2 ).
А ( 3,1,-2 ) , В ( 4,-1,0 ) , С ( 14,3,8 ) , D ( 0,7,7 ).
А ( 8,3,-1 ) , В ( -7,1,1 ) , С ( 3,5,9 ) , D ( 0,7,7 ).
А ( 2,-1,-4 ) , В ( 3,-3,-2 ) , С ( 13,1,6 ) , D ( 10,3,4 ).
А ( 4,5,-5 ) , В ( -3,3,-3 ) , С ( 7,7,5 ) , D ( 4,9,3 ).
А ( -2,-3,2 ) , В ( -1,-5,4 ) , С ( 9,-1,12 ) , D ( 6,1,10 ).
А ( -3,4,-3 ) , В ( -2,2,-1 ) , С ( 8,6,7 ) , D ( 5,8,5 ).
А ( 3,2,-6 ) , В ( 0,-5,1 ) , С ( -2,1,0 ) , D ( 4,-1,3 ).
А ( 4,-1,0 ) , В ( -1,2,-3 ) , С ( 2,1,-2 ) , D ( 3,4,5 ).
А ( -3,6,3 ) , В ( 1,5,-7 ) , С ( -2,7,3 ) , D ( 1,-1,2 ).
А ( 1,1,-1 ) , В ( 2,3,1 ) , С ( 3,2,1 ) , D ( -3,-7,6 ).
А ( 2,3,1 ) , В ( 4,1,-2 ) , С ( 6,3,7 ) , D ( -5,-4,8 ).
А ( 2,3,8 ) , В ( 2,-2,4 ) , С ( -1,1,3 ) , D ( 1,1,2 ).
А ( 2,-1,2 ) , В ( 1,2,-1 ) , С ( 3,2,1 ) , D ( -5,3,7 ).
А ( -13,-8,16 ) , В ( 5,2,6 ) , С ( 3,0,-3 ) , D ( 1,2,0 ).
А ( 14,4,5 ) , В ( -5,-3,2 ) , С ( -2,-6,-3 ) , D ( -1,-8,7 ).
А ( -6,5,5 ) , В ( 4,-8,-4 ) , С ( -1,7,1 ) , D ( -2,0,-4 ).

Задание 2.3.

Даны три вектора ,,. Найти :

косинус угла между векторами и;
выяснить компланарны ли вектора ,,;
если вектора ,,компланарны, найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи, как на сторонах, а если,,некомпланарны – найти объем параллелепипеда, построенного на векторах,,, как на ребрах.