- •Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.2. Решение систем линейных уравнений
- •Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений , равносильная данной. Неизвестныеxи y можно выразить через z:
- •2. Векторы и операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов иназывается число.
- •3. Прямая на плоскости
- •Координаты точки м(X, y), которая делит отрезок между точкамиМ1(x1,y1) иМ2(x2,y2) в отношенииλ , находятся по формулам
- •Основные виды уравнений прямой на плоскости.
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей
Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
1.1. Матрицы и определители
Таблицы вида
,
где аij, i=1, …. , m, j=1, …. , n - числа, называются матрицами. При m=n - матрица квадратная, при m≠n – прямоугольная.
Определителем 2-ого порядка, соответствующим матрице
А =, называется число |А| = .
Определителем 3-его порядка, соответствующим квадратной матрице А=, называется число
|А|= .
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i - строки и j- столбца. Так, минором М23 определителя 3-его порядка является определитель М23=, схема:.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя называется определитель, равный Аij = (-1)i+j Мij.
Вычисление определителя по элементам строки или столбца.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Так, по элементам второй строки вычислим определитель 3-его порядка:
|А| =
.
Операции над матрицами.
Суммой двух матриц А = (аij) и В = (bij) называется матрица С =(сij), каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.
сij= аij+bij i =1,2, … , m, j =1,2, … , n.
Произведением матрицы А = (аij) на число λ называется матрица λА=( λ аij ), где каждый элемент матрицы А умножается на число λ.
Произведением матрицы А = (аij)mn на матрицу В = (bij)nk называется матрица С=(сij)mk=AB , элемент сij которой равен сумме произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы А и j -ого столбца матрицы В.
Так, например,
.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель |А| = 0, и невырожденной , если |А| ≠ 0.
Обратной для невырожденной матрицы А называется матрица А-1 такая, что , гдеЕ – единичная матрица (по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны 0).
Так, обратная матрица А-1 для квадратной матрицы А 3-его порядка имеет вид
.
1.2. Решение систем линейных уравнений
Правило Крамера. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными
. (1.1)
Решение находится по формулам Крамера
,
где ,,
, .
Система имеет единственное решение при ∆ ≠ 0,множество решений при∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0и не имеет решения при∆ = 0и хотя бы одном∆x , ∆y, ∆z , не равном нулю.
Пример. Решить по правилу Крамера систему:
.
Решение.
По формулам Крамера
.
Матричное решение системы линейных уравнений. Систему линейных уравнений (1.1) можно представить в матричном виде , где ,,.
Если матрица А невырожденная, то , умножая слева матричное уравнение на матрицу А-1 , обратную А , получим , т.к.и, то.
Пример. Решить с помощью обратной матрицы:
.
Решение.
Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.
.
Обратная матрица имеет вид .
Находим решение .
Таким образом, система имеет решение x = 1, y = 1, z = 1.
Метод Гаусса. Элементарными преобразованиями системы уравнений называют следующие преобразования:
перемена местами двух любых уравнений;
умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.
Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой и обратно.
Элементарные преобразования переводят систему в равносильную данной.
Пример. Решить методом Гаусса систему:
Решение. Сначала умножим первое уравнение на (–2) и сложим со вторым , затем первое уравнение умножим на (-5) и сложим с третьим , в результате получим систему:
.
Далее умножим второе уравнение на (+ 3) и сложим с третьим:
.
Из этой системы последовательно находим
z = -1 y = 4 + 3z = 1 x = 6 + 2z – y = 6 – 2 – 1 = 3.
Итак, первоначальная система с помощью элементарных преобразований приведена к равносильной системе, имеющей треугольный вид и единственное решение.
Пример. Решить методом Гаусса систему:
.
Решение. Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:
~ ~.
Здесь первую строку умножили на (-3) и сложили со второй, далее - первую строку умножили на (-2) и сложили с третьей, а затем из третьей строки вычли вторую.