Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1-4 Методичка2.doc
Скачиваний:
34
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
976.9 Кб
Скачать
  1. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

1.1. Матрицы и определители

Таблицы вида

,

где аij, i=1, …. , m, j=1, …. , n - числа, называются матрицами. При m=n - матрица квадратная, при mn – прямоугольная.

Определителем 2-ого порядка, соответствующим матрице

А =, называется число |А| = .

Определителем 3-его порядка, соответствующим квадратной матрице А=, называется число

|А|= .

Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i - строки и j- столбца. Так, минором М23 определителя 3-его порядка является определитель М23=, схема:.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя называется определитель, равный Аij = (-1)i+j Мij.

Вычисление определителя по элементам строки или столбца.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Так, по элементам второй строки вычислим определитель 3-его порядка:

|А| =

.

Операции над матрицами.

Суммой двух матриц А = (аij) и В = (bij) называется матрица С =(сij), каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

сij= аij+bij i =1,2, … , m, j =1,2, … , n.

Произведением матрицы А = (аij) на число λ называется матрица λА=( λ аij ), где каждый элемент матрицы А умножается на число λ.

Произведением матрицы А = (аij)mn на матрицу В = (bij)nk называется матрица С=(сij)mk=AB , элемент сij которой равен сумме произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы А и j -ого столбца матрицы В.

Так, например,

.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель |А| = 0, и невырожденной , если |А| ≠ 0.

Обратной для невырожденной матрицы А называется матрица А-1 такая, что , гдеЕ – единичная матрица (по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны 0).

Так, обратная матрица А-1 для квадратной матрицы А 3-его порядка имеет вид

.

1.2. Решение систем линейных уравнений

Правило Крамера. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

. (1.1)

Решение находится по формулам Крамера

,

где ,,

, .

Система имеет единственное решение при ∆ ≠ 0,множество решений при∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0и не имеет решения при∆ = 0и хотя бы одномx , ∆y, ∆z , не равном нулю.

Пример. Решить по правилу Крамера систему:

.

Решение.

По формулам Крамера

.

Матричное решение системы линейных уравнений. Систему линейных уравнений (1.1) можно представить в матричном виде , где ,,.

Если матрица А невырожденная, то , умножая слева матричное уравнение на матрицу А-1 , обратную А , получим , т.к.и, то.

Пример. Решить с помощью обратной матрицы:

.

Решение.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

.

Обратная матрица имеет вид .

Находим решение .

Таким образом, система имеет решение x = 1, y = 1, z = 1.

Метод Гаусса. Элементарными преобразованиями системы уравнений называют следующие преобразования:

  1. перемена местами двух любых уравнений;

  2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

  3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой и обратно.

Элементарные преобразования переводят систему в равносильную данной.

Пример. Решить методом Гаусса систему:

Решение. Сначала умножим первое уравнение на (–2) и сложим со вторым , затем первое уравнение умножим на (-5) и сложим с третьим , в результате получим систему:

.

Далее умножим второе уравнение на (+ 3) и сложим с третьим:

.

Из этой системы последовательно находим

z = -1 y = 4 + 3z = 1 x = 6 + 2z – y = 6 – 2 – 1 = 3.

Итак, первоначальная система с помощью элементарных преобразований приведена к равносильной системе, имеющей треугольный вид и единственное решение.

Пример. Решить методом Гаусса систему:

.

Решение. Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:

~ ~.

Здесь первую строку умножили на (-3) и сложили со второй, далее - первую строку умножили на (-2) и сложили с третьей, а затем из третьей строки вычли вторую.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]