Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

13 ряды1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

13.3. Ряды Фурье и интегралы Фурье

Если на интервале [-,] функция f(t) удовлетворяет условию Дирихле: функция непрерывна с конечным числом экстремумов или имеет конечное число точек разрыва первого рода - то ряд Фурье этой функции сходится в точках непрерывности к самой функции f(t), а в точках разрыва первого рода - к полусумме левого и правого пределов функции f(t).

, где n=1,2,3,… ,

; ;.

Если функция f(t) периодична с периодом 2, удовлетворяет условию Дирихле, то ряд Фурье данной функции сходится к ней для любого t. То же самое относится и к случаям, если функция f(t) периодична с периодом T или 2l. Соответствующие формулы имеют вид:

где ;;.

Если функция f(t) четная, то ; если нечетнаяи ряд Фурье упрощается.

Если f(t) задана на полуинтервале, то ее можно разложить в ряд Фурье по косинусам или синусам, продлив функцию соответственно четным или нечетным образом на весь период.

Если рядом Фурье представлялась функция периодическая или заданная на периоде и удовлетворяющая условиям Дирихле на этом периоде, тоинтегралом Фурье представляется функция непериодическая, к которой предъявляются два условия:

должна быть кусочно-гладкая, т.е. должна быть на некотором интервале непрерывной и иметь непрерывную производную во всех точках этого интервала , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв 1 рода (это аналог условия Дирихле);
должна быть абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. должен быть сходящимся На электротехническом языке это означает одиночный импульс тока или напряжения, имеющий начало и конец.

Тогда функция представляется несколькими видами интеграла Фурье:

а)

где .

Здесь и- одна и та же функция с аргументамиx и t. В частных случаях может быть четной и нечетной.

Если - чётная, тои тогда

, где .

Иногда вводят функцию

тогда В этом случае функциюназываюткосинус- преобразованием Фурье.

Если - -нечетная, тои тогда

;

Если ввести функцию

- синус-преобразование Фурье,

то .

Второй вид интеграла Фурье :

с) Третий вид интеграла Фурье – в комплексной форме – здесь не рассматривается.

Представить функцию интегралом Фурье значит:

Вид а) - найти функцию иилиилии подставить в соответствующую формулу.

Вид b) - посчитать внутренний интеграли подставить в формулу.

Пример 13. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (-,).

Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2 ( рис. 13.1. ).

-t

Рис. 13.1.

Функция нечетная, поэтому коэффициенты.

Ряд Фурье: .

Равенство справедливо всюду, кроме точек разрыва (на концах интервала), где ряд сходится к 0, т.к. сумма ряда равна :

. . Пример 14 . Разложить в ряд Фурье функцию на интервале (,).

Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2π (рис.13.2.)

Рис. 13.2.

Функция четная, поэтому коэффициент.

Ряд Фурье: .

Пример 15. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Продолжим функцию периодическим способом с периодом 2π (рис. 13.3.)

Рис.13.3.

; k=0,1,2,…

Ряд Фурье:

Пример 16. Разложить функцию на интервале;в ряд косинусов.

Решение. Чтобы в разложении были только косинусы, необходимо иметь четную функцию, поэтому продолжим функцию на интервале;четным, периодическим образом ( рис. 13.4.) .

f(t)

Рис. 13.4.

Чтобы разложить ту же функцию на интервалев ряд синусов, нужно продолжить эту функцию нечетным, периодическим образом (рис.13.5.).

Рис. 13.5.

Еще раз обратим внимание на то, что указанные в примерах функции раскладываются в соответствующий ряд Фурье только в указанных интервалах. За пределами интервалов этого разложения нет.