13.2. Функциональные ряды
Область сходимости функционального ряда , гдеUn(x), n=1,2,3… - функции одной переменой, есть совокупность значений переменной x, при которых ряд сходится. Сумма ряда в области сходимости является некоторой функцией от x : , дляx из области сходимости.
Область сходимости определяется решением неравенства на основе достаточных признаков Даламбера или радикального признака :
.
Принадлежность концов интервала к области сходимости определяется на основе исследования числовых рядов, получающихся после подстановки значений этих концов в функциональный ряд.
В частном случае, если функциональный ряд представляет собой
степенной ряд вида , область сходимости по приведенным формулам определяется:
Здесь , гдеR – радиус сходимости .
Если функция f(x) в точке а непрерывна вместе со своими производными, то в окрестности точки x=a справедлива формула (ряд) Тейлора:
При a=0 ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена :
Таблица рядов Маклорена для некоторых функций.
;
;
;
;
;
;
;
.
В скобках указаны интервалы сходимости рядов.
Разложение функций в ряд Тейлора позволяет с любой степенью точности приближенно вычислить значение функции в точке, пределы, определенный интеграл, найти частное решение дифференциального уравнения (задачу Коши) и другие.
Пример 7. Найти область сходимости ряда .
Решение. ;
< 5; -7 < х < 3.
Исследуем ряд на концах интервала (подставляем значения концов в функциональный ряд):
.
Этот знакочередующийся ряд сходится , т.к. , и члены ряда, взятые по абсолютной величине , убывают, поэтому значениевходит в область сходимости ряда.
.
Данный ряд с положительными членами расходится по признаку сравнения:
где общий член расходящегося гармонического ряда . Значит, точкане входит в область сходимости ряда.
Ответ: .
Пример 8. Найти область сходимости ряда .
Решение. ;
; .
Исследуем ряд на концах интервала.
При подстановке в функциональный ряд обеих концов интервала образуется один и тот же числовой ряд .
Этот ряд расходится по признаку сравнения его с расходящимся рядом Дирихле :
.
Значит область сходимости функционального ряда: .
Пример 9. Найти область сходимости ряда .
Решение.
x < -2 ; .
При подстановке в функциональный ряд обеих концов интервала образуется один и тот же числовой ряд , который расходится согласно необходимому признаку сходимости:. Таким образом, область сходимости ряда:.
Пример 10. Вычислить интеграл с точностью доε = 0,001 .
Пример11. Разложить функцию в ряд Тейлора по степенямx.
Решение. Определим коэффициенты ряда Тейлора по степеням x для функции:
.
, ,
, ,
, ,
, ,
… … … … … … … … … … … … … … … …
, .
Тогда:
Пример 12. С помощью рядов решить дифференциальное уравнение:
; ;.
Решение. Решение дифференциального уравнения находится в виде ряда Тейлора:
,
где точка x=a определяется из начальных условий (в приведенном примере x=0 ).
Значения функции и ее производных для ряда Тейлора находятся из начальных условий непосредственно для первых членов и для остальных членов ряда путем последовательного дифференцирования исходного дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной и вычисленной в точке x=a. Для тех значений x, для которых получившийся ряд сходится, он представляет решение дифференциального уравнения.
В нашем примере:
,
,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Видна закономерность:
;
; .
Подставим все значения в ряд :
Выполним преобразования:
.
.
Определим радиус сходимости этого ряда:
;
Значит полученное решение справедливо для всех x.