3.8.2. Метод Ферма

Метод Ферма основан на формуле разности квадратов: если нечётное , то, где

. Если множители нетривиальны (отличны оти), то дальнейшая факторизация сводится к работе с меньшими числами. При этомявляется полным квадратом:. Поиск такогоможно начинать с проверки наименьшего значения, при котором, то есть с. Если не является квадратом, то далее проверяются .Если при всех разность не является квадратом, то— простое(см. [1]).

Пример. Факторизация числа . Имеем;

;

—не является квадратом;

—не является квадратом;

.

Итак, .

Дальнейшая факторизация осуществляется просто: , и.В итоге .

3.8.3. Метод Крайчика

В этом методе нетривиальный делитель числаищется как НОД числаи числа:; при этомиподбираются так, чтобы заведомо выполнялось условие. Имеет место

Теорема. Пусть выполняются три условия:

1) илежат в разных классах вычетов по модулю;

2) и, лежат в разных классах вычетов по модулю;

3) .

Тогда .

Пусть, . Численные эксперименты показывают, что в разложении на множители чисел(остатков от деленияна , так что) довольно часто участвуют только небольшие простые множители (такие числа называютгладкими). Путём перемножения некоторых из сравнений

, … ,,

в правой части удаётся получить полный квадрат:. Тогда в левой части сравнения квадрат получается автоматически:, где.

Если при этом для иоказываются выполненными первые два условия теоремы, то наибольший общий делитель(то есть нетривиальный делитель) находится с помощью алгоритма Евклида или каким-нибудь другим методом (см. п. 3.7).

Пример. Рассмотрим факторизацию числа . Здесь. Для чиселпри последовательно получаем:

;

;

;

;

;

.

Полным квадратом оказывается произведение

.

Теперь

,

,

и полагаем заново

.

Проверяем: .

80