3.4. Вычисления с многократной точностью

Разрядность машинного слова определяет стандартную точность арифметических операций с плавающей точкой. В случаях, когда требуется проводить вычисления с большей точностью, для представления чисел в памяти отводится два или более машинных слов, и арифметические операции реализуются уже программными (а не аппаратными) средствами.

При вычислениях с многократной точностью на представление числа отводится несколько машинных слова (при том, что арифметические операции реализуются аппаратно для одного слова). Такие вычисления могут проводиться при работе с числами как с плавающей (чаще), так и с фиксированной запятой.

Для чисел с фиксированной точкой потребность в увеличении точности связана, прежде всего, с потребностью в большом числе точных цифр дробной части в исходных данных. Для чисел с плавающей точкой, бывает необходимо расширить как число разрядов мантиссы, так и диапазон значений порядка.

3.4.1. Вычисления с большими целыми числами

Пусть для представления большого целого числа в -ичной системе счисления используется-разрядных машинных слов. Отдельное слово может представлятьразличных значений (числа отдо), и поэтому его можно рассматривать как один разряд системы счисления с основанием. Тогдамашинных слов представляют-разрядное-ичное число, и арифметические действия, осуществляемые поразрядно («в столбик»), сводятся к следующим элементарным операциям:

– сложение одноразрядных чисел (и вычитание как сложение с обратным знаком) с получением переноса (или);

– умножение одноразрядных чисел с получением двухразрядного результата («два пишем, три в уме»);

– деление двухразрядного числа на одноразрядное с получением одноразрядного неполного частного и одноразрядного остатка. В терминах этих операций формулируются алгоритмы арифметических действий с многоразрядными числами. Поскольку основание системы счисления отлично от, то не применимы «быстрые» двоичные операции сложения/вычитания/умножения, сводимые к сложениям и сдвигам. Приходится использовать традиционные способы выполнения операций по схеме «в столбик». Что касается операции деления, то она и в двоичной арифметике выполняется «в столбик» и является наиболее трудоёмкой.

Сложение неотрицательных чисел. Пусть , и, так что в-ичной записи,.

Алгоритм сложения формирует в -ичной записи сумму. Введём вспомогательные переменные:— номер текущего разряда,— признак переноса, возникающего в текущем разряде (при сложении младших, нулевых разрядов переноса ещё не было:). При сложении в текущем разряде, так что перенос в следующий разряд — целая часть частного — либо нуль, либо единица.

╔

Ш.1. Начальные присваивания. .

Ш.2. Сложение разрядов с текущим номером :

— цифра в текущем разряде;

.

Ш.3. ;

если , то вернуться кШ.2,

в противном случае .

╚

Вычитание неотрицательных чисел. Пусть в -ичной записи,. Поскольку, достаточно иметь алгоритм для случаяс неотрицательной разностью.

Алгоритм вычитания формирует в -ичной записи неотрицательную разность. Введём вспомогательные переменные:— номер текущего разряда,— признак необходимости заимствования из следующего, старшего разряда:присваивается значение, если заимствование необходимо, и значение, если такой необходимости нет. При вычитании в текущем разряде это значение уже было сформировано вычитанием в предшествующем-м разряде; поэтомуновое значение , формируемое в текущем разряде, полагается равным, если при текущем значениивыполняется. Признак играет роль точки, которая ставится над цифрой уменьшаемого слева от текущего разряда, если нужно «занимать единицу».

Наименьшая цифра в текущем разряде уменьшаемого есть. Наибольшая цифрав текущем разряде вычитаемого есть. Разность между ними ещё уменьшается на единицу, если было заимствование (если надстоит точка при вычитании в столбик вручную). Итак, наименьшее значение разности в текущем разряде есть. В свою очередь, наибольшее значение разности в текущем разряде получается, когда из максимально возможной цифрыуменьшаемого вычитается, и не было заимствования (то есть). Поэтому при формировании разности в текущем-м разряде выполняется неравенство

.

Заимствование производится, если

.

Заимствование не производится, если

.

Таким образом, значение признака заимствования совпадает с числом .

╔

Ш.1. Начальные присваивания. .

Ш.2. Вычитание разрядов с текущим номером :

;

.

Ш.3. ;

если , то вернуться кШ.2.

╚

Умножение неотрицательных чисел. Пусть в -ичной записи,.

Алгоритм умножения формирует в -ичной записи неотрицательное произведениекак сумму попарных произведений:с учётом того, что в разрядмог придти ненулевой переносиз предыдущего произведения() и чтоможет оказаться .

Рассмотрим для примера в случае произведение двух разрядовс переносомиз предыдущего произведения. В результате получаем

.

Множитель при(это переносв следующий разряд) есть целая часть от, то есть. Множитель 7 при(в текущем разряде) есть остаток от деленияна, то есть.

Для накопления итогового коэффициента при(посколькуи т. д.) его начальное значение полагается, как обычно при циклическом сложении, равным нулю.

╔

Ш.1. Начальные присваивания.

(для накопления сумм);

—начальный номер разряда множителя , пара-

метр внешнего цикла.

Ш.2.     — параметр внутреннего цикла, номер

начального разряда множителя ;

   —обнуление переноса.

Ш.3.    — произведение текущих

разрядов с учетом уже состоявшегося переноса

без разбивки на два разряда и ;

     разбивка на разряды: ;

     — перенос в следующий разряд.

Ш.4. ;

если , то

вернуться к Ш.3,

в противном случае

.

Ш.5. ;

если , то

вернуться к Ш.2.

╚