23.Эквивалентные бесконечно-малые, критерий эквивалентности.

Ответ: Эквивалентные функции

Определение : Если в которой определеныи, причёми- эквивалентные прии пишутПонятие эквивалентные обычно используют, когда f и g —бесконечно малыеилибесконечно большиепри

Критерий: Для того, чтобы две бесконечно малые  ибыли эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы былоПоложив, будем иметьОтсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если, то, то естьесть бесконечно малая высшего порядка, чеми. Обратно, если дано, что, то, а тогда. С помощью этого критерия, например, видно, что прибесконечно малаяэквивалентна, а. Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости. Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема: Если, а, при, то если, тоиЗамечание: Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) 

2) 

24.теорема о замени бесконечно малых на эквивалентные. Виды неопределенностей.

Ответ: При вычислении пределов широко используется теорема o замене функций на эквивалентные:

Теорема 2. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую функцию (или только одну из них) заменить на эквивалентную, т.е. если α(x)  α₁(x) и β(x)  β₁(x), то

lim x → x0    α β    =  lim x → x0    α1 β1  .

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и в тех случаях, когда оба предела бесконечны или не существуют.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 77.

При вычислении пределов с помощью замены бесконечно малых функций на эквивалентные используется

25.Односторонние пределы, теорема, примеры.

Пусть на некотором числовом множестве M∈R задана числовая функция f:M→R и число  a — предельная точка области определения  M. Существуют различные определения для односторонних пределов функции  f(x) в точке  a, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне[править | править вики-текст]

• Число A∈R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции  f(x) в точке  a, если для всякой последовательности {xn}∞n=1, состоящей из точек, больших числа  a, которая сама сходится к числу  a, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)}∞n=1сходится к числу  A.

limx→a+0f(x)=A⇔∀{xn}∞n=1:(∀k∈N:xk>a)∧limn→∞xn=a⇒limn→∞{f(xn)}∞n=1=A

• Число A∈R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции  f(x) в точке  a, если для всякой последовательности {xn}∞n=1, состоящей из точек, меньших числа  a, которая сама сходится к числу  a, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)}∞n=1сходится к числу  A.^[1]

limx→a−0f(x)=A⇔∀{xn}∞n=1:(∀k∈N:xk<a)∧limn→∞xn=a⇒limn→∞{f(xn)}∞n=1=A

Односторонний предел по Коши[править | править вики-текст]

• Число A∈R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции  f(x) в точке  a, если для всякого положительного числа  ε отыщется отвечающее ему положительное число  δ такое, что для всех точек  x из интервала (a,a+δ) справедливо неравенство |f(x)−A|<ε.

limx→a+0f(x)=A⇔∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈(a,a+δ):|f(x)−A|<ε

• Число A∈R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции  f(x) в точке  a, если для всякого положительного числа  ε отыщется отвечающее ему положительное число  δ, такое, что для всех точек  x из интервала (a−δ,a) справедливо неравенство |f(x)−A|<ε.^[1]

limx→a−0f(x)=A⇔∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈(a−δ,a):|f(x)−A|<ε

Односторонний предел как предел вдоль фильтра[править | править вики-текст]

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть M⊂R, и a∈M′. Тогда системы множеств

B+={(a,a+δ)∩M∣δ>0}

и

B−={(a−δ,a)∩M∣δ>0}

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

limB+f(x)≡limx→a+f(x);

limB−f(x)≡limx→a−f(x).

Обозначения[править | править вики-текст]

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

limx→a+f(x),  limx→a+0f(x),  limx↓af(x),  limx↘af(x);

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

limx→a−f(x),  limx→a−0f(x),  limx↑af(x),  limx↗af(x).

• При этом используются также сокращённые обозначения:

  • f(a+) и f(a+0) для правого предела;

  • f(a−) и f(a−0) для левого предела.

Свойства[править | править вики-текст]

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.

• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.^[1]

Примеры[править | править вики-текст]

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция

  • f(x)=x

  • Область определения: R

  • Правый предел: ∀a∈R:limx→a+0x=a

  • Левый предел: ∀a∈R:limx→a−0x=a

  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: ∀a∈R:limx→ax=a

• Кусочно-заданная функция

  • f(x)={x2,11−(x−3)2,x<3x>3

  • Область определения: R∖{3}

  • Правый предел: limx→3+0f(x)=11

  • Левый предел: limx→3−0f(x)=9

  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке  x=3 не существует

• Функция sgn(x)

  • f(x)={0,x∣∣x∣∣,x=0x≠0

  • Область определения: R

  • Правый предел: limx→0+0sgn(x)=+1

  • Левый предел: limx→0−0sgn(x)=−1

  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке  x=0 не существует