3. Односторонние пределы.

бозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела:.  Всюду ниже предполагается, что пределы функцийсуществуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0. 

Предел логарифмической функции

где основание a > 0. 

Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всехx близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. 

   Пример 1

Найти предел .

Решение.

   Пример 2

Найти предел .

Решение.

Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем

   Пример 3

Зная, что и, вычислить предел.

Решение.

   Пример 4

Вычислить предел .

Решение.

Известно, что для всехx. Тогда можно записать

Разделив это неравенство на 2x − 7 > 0, получаем

(Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения x, и, следовательно, 2x − 7 > 0, то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем

Вычислим левый и правый пределы:

Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что

   Пример 5

Вычислить предел .

Решение.

Известно, что для всехx. Тогда

Вычтем 5x из всех частей неравенства.

Разделив на , получаем

(Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку является положительным числом при.)  Вычислим левый и правый пределы.

Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах"