14.Предел последовательности. Геометрический смысл. Теорема пределе константы.

Ответ: В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространстваназывают элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построениидифференциального и интегрального исчислений.

Обозначение (читается: предел последов Геометрический смысл предела

Согласно определению число является пределом последовательности, если при всехвыполняется неравенствокоторое можно записать в виде:

Другими словами, для каждого  найдется номер, начиная с которого все члены последовательностипринадлежат интервалу.

Этот интервал называют  -окрестностью точки и обозначают.

Итак, число  — предел последовательности, если для каждой-окрестности точкинайдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

ательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a): limn→∞xn=a

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки  значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны: f(x)=g(x)  =>  . Теорема ( о предельном переходе в неравенствах).  Если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то  верно и неравенство: . 15.пример расходящейся последовательности. Монотонные последовательности, теорема Вейерштрасса.

Ответ:  последовательности

— 1, 1, —1, 1, —1, 1, ... ,

1, 2, 3, 4, ...

— расходящимися.

Определение. Последовательность {xn} не возрастает(не убывает), если xn+1≤xn(xn+1≥xn) для ∀n∈N.

Определение. Последовательность {xn} возрастает (убывает), если xn+1>xn(xn+1<xn) для ∀n∈N.

Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

Теорема. Если {xn} - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если {xn} - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность xn ограничена.

В силу ограниченности xn∃infn∈Nxn=x−, ∃supn∈Nxn=x¯

1) Если последовательность не убывает, то limn→∞=x¯

2) Если последовательность не возрастает, то limn→∞=x−

Рассмотрим первый случай.

По определению sup : ∀ε>0∃xN:xN>x¯−ε,xn≤x¯0≤−xN<ε

Т.к. {xn} не убывает, то при n≤NxN≤xn≤x¯

0<x¯−xn≤x¯−xn<ε при n≤N

∀ε>0∃N: при n≤N|x¯−xn|<ε.

Второй случай рассматривается аналогично.