Saprikina

Варіант

Умова задачі

Знайти глибину h, на якій прямокутний шлюз висотою Н

8

поділиться горизонтально на дві частини так, що сила тиску води

на кожну з них буде однаковою

Знайти силу тиску на параболічний сегмент з основою a та

9

висотою h, який вертикально занурений у рідину густиною γ так,

що його вершина знаходиться на поверхні рідини

Круговий циліндр, радіус основи якого R, а висота Н,

10

обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю ω . Густина

матеріалу, з якого зроблено циліндр, дорівнює γ. Знайти кінетич-

ну енергію циліндра

11

Яку роботу треба витратити, щоб викачати воду із парабо-

лічного котла глибиною Н і радіусом основи R?

Куб занурений у воду так, що його верхня основа знаходиться

12

на поверхні води. Яку роботу треба витратити, щоб витягнути

куб із води, якщо його ребро дорівнює a, а густина γ ?

Тонкий дріт маси М, зігнутий у вигляді півкола радіуса R,

13

обертається навколо осі, яка проходить через кінці півкола,

роблячи n обертів за хвилину. Обчислити його кінетичну енергію

Дерев’яний поплавок циліндричної форми, висота якого Н , а

14

площа основи S , занурений у воду так, що його верхня основа

лежить на поверхні води. Густина дерева γ . Яку роботу треба

виконати, щоб витягти поплавок з води?

Циліндр з рухомим поршнем заповнений парою об’єму V0 =

15

= 0,2 м3; P = 10330 Н/м2. Яку роботу треба витратити, щоб при

0

сталій температурі (ізотермічний процес) об’єм пари зменшити у

два рази?

Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 6 см,

16

якщо сила в 10 Н розтягує її на 1 см? Відповідно до закону Гука,

сила, що розтягує пружину F(x)= –kx, де x – подовження

пружини, k – коефіцієнт пропорційності

Циліндрична цистерна з горизонтальною віссю наполовину

17

заповнена олією, густина якої γ. Визначити силу тиску олії на

кожну із плоских стінок цистерни, якщо радіус її дорівнює R

Варіант

Умова задачі

Пластина у формі прямокутного трикутника із катетами a і b

обертається навколо катета a з кутовою швидкістю ω. Знайти

тоді

y

х2 + 2х = х + 2; х2 + х – 2 = 0,

y=x2+2x

3

звідси

y = x+2

х1 = –2, у1 = 0; х2 = 1,

у2 = 3.

Отже, лінії перетинаються в точках

(–2; 0), (1; 3). Рівнянням

у = х2 +2х

визначається парабола. Знайдемо вер-

шину. Для цього виділимо повний ква-

–1 0

x

–2

1

драт: у = х2 + 2х + 1 – 1 = (х + 1)2 – 1.

–1

Вершина параболи А(–1; –1) вісь пара-

A

лельна Oy. Рівнянням у = х + 2 визнача-

Рис. 7

єтьсяпряма. Зробиморисунок(рис. 7).

b

Виходячизформули S = ∫[f2 (x) − f1(x)]dx,

маємо:

a

1

1

x2

x3

1

S = ∫[(x + 2)− (x

+ 2x)]dx = ∫ (2 − x − x

)dx =

2

2

2x −

−

=

2

3

−2

−2

−2

β

π

π

2

π 1 – cosϕ 2

1

1

4 ϕ

2 ϕ

∫

2

(ϕ)dϕ =

∫

dϕ =

S

=

ρ

2

sin

dϕ =

sin

dϕ =

2

2

2

2

∫

2

∫

π

α

0

0

0

π

1

1

+ cos 2ϕ

1

1

1

=

∫

1 – 2cos ϕ +

dϕ =

ϕ – 2sin ϕ +

ϕ +

sin 2ϕ

=

4

2

4

2

4

0

0

3

=

π(кв.од.).

8

Завдання 3. Знайти довжину першої арки циклоїди (рис. 9)

1

2

y

1

0

ρ

x

0

2πa

Рис. 8

Рис. 9

x = a(t – sin t);

= a(1 – cos t).

y

Розв’язання

t2

При параметричному завданні лінії L = ∫

x't2 + y't2 dt . Маємо:

t1

= 0, t2

= 2π;

t1

х't

= а(1 – cost), y't = asin t;

t

х'2

+ у'

2 = 2а2(1 – cost) = 4а2sin2

.

2π

t

t

2π

2

dt = −4a cos t

2π =

Отже, L = 2a ∫

sin

2 t dt = 2a ∫sin

t

0

2

0

2

2

0

Завдання 4. Знайти об'єм тіла, що об-

z

межене параболоїдом 2z =

x

2

+

у

2

та пло-

5

9

4

щинами z = 2, z = 5 (рис. 10).

z

S = S(z)

Розв’язання

Переріз параболоїда z = const – еліпс

2

х2

+

y2

= 1 зпівосямиa(z )=

8z , b(z ) =

18z.

8z

18z

x

y

Площа його S(z)= πa(z)b(z)= π

8z 18z =

Рис. 10

= 12 πz.

5

5

12πz2

Об'ємтіла V = ∫S(z)dz = 12π∫zdz =

5

= 126π(кв. од.).

2

2

2

2

Завдання 5. Обчислити об'єм тіла, що

y

y = x2+1

утворенообертаннямнавколоосіОx плос-

5

y = x+3

кої фігури, обмеженої параболою у = х2 +1

та прямою у = х + 3 (рис. 11).

Розв’язання

Якщо фігура зверху і знизу обмежена

кривими, заданими рівняннями у1 = f1(х),

2

x

у2

= f2(х), де f2(х) ≥ f1(х), то об'єм тіла обер-

Рис. 11

тання навколо осі Oх знаходиться за фор-

2

+ 1, x2 + 1 = x + 3; x2 – x – 2 = 0; x

= –1; x

= 2.

y = x

2

1

y = x + 3,

2

2

V = π∫

(x + 3)2 − (x2 + 1)2 dx = π∫

(6x − x2 − x4 + 8)dx =

−1

−1

x

3

x

5

2

117π

(куб. од.)

= π

3x2

−

−

+ 8x

=

3

5

5

–1

a

a

P = ba γg ∫

a2 − x2 2xdx = − ba γg ∫ a2 − x2 d (a2 − x2 )=

0

0

= −

2b

γg

(a2 − x2 )3

a =

2

γgba2 .

26

3a

3

0

Варі-

Функція

Варі-

Функція

ант

ант

1

y =

2x – 1,

якщо х ≤ 4,

1

2

y =

2

x −5

3 +

x, якщо х > 4

x + 2,

якщо х ≤ –1,

2

1 – x,

якщо х ≤ 0,

3

y = x

+ 1,

якщо – 1 < х ≤ 1,

4

y =

якщо х > 0

x + 2,

−x + 3, якщо х > 1

x,

якщо x ≤ 0,

1

1 1−x

5

y = sin x, якщо0 < x ≤ π,

6

y =

2

x – 2, якщо x > π

7

у=

х

3

+ 8

8

1

y = 3

x +1

х + 2

y =

x + 1, якщо x ≤ 1,

у =

х + 2

9

2

10

–x

, якщо x > 1

(х − 3)

2

1

y =

–2x + 1, якщо х< 1,

11

у = arctg

12

x,

якщо х ≥ 1

1− х

1

– x,

якщо x ≤ 0,

2

1 2−x

13

y =

14

y = – (x – 1)

, якщо0 < x ≤ 2,

5

x – 3, якщо x > 2

1

3

,

якщо x ≤ 1,

х

15

y =

x

16

у =

х + 3

x + 2, якщо х > 1

x + 2, якщо x ≤ 2,

–x, якщо x ≤ 0,

y =

π

17

–x

2

, якщо x > 2

18

y = cos x, якщо0 < x ≤

, ,

2

–

π

, якщо x >

π

x

2

2

Варі-

Функція

Варі-

Функція

ант

ант

1

х

2

− 3х + 2

19

у =

20

y = x – 1 , якщо x < 2,

х − 1

2x, якщо x ≥ 2