Saprikina

x – 2 y + 2z = 5

(I)

x – 2 y + 2z = 5,

y – 2z = –5

(II)

y – 2z = –5,

5 y – 7z = –19

+ (II) (–5)

3z = 6.

∆ =

1

1

–1

= –1 – λ + 6 – 3 – 2λ – 2 = 0, звідки λ = 0.

2

–1

2

3

0

1 + λ

F1

(0; – 90), F2 (0;

90), вершини В1 (0; –3), В2

(0; 3). Побудуємо

основний прямокутник і його діагоналі, що є асимптотами гіпер-

болиізобразимогілкилінії(рис. 1).

б) 5х2 – 10х+ 3у3 + 12у –

y

3

– 13 = 0. Зведемо рівняння

B2

доканонічноговигляду:

5(х2 – 2х + 1 – 1) + 3(у2 + 4у +

0

x

+ 4 – 4) – 13 = 0,

–3

B1

звідси

5(х – 1)2 – 5 + 3(у + 2)2 – 12 –

Рис. 1

– 13 = 0,

отже,

(x − 1)2

+

( y + 2)

2

= 1.

6

10

ЦерівняннявизначаєеліпсзцентромС(1; –2), півосямиа= 6,

y

b = 10; с =

b2 − a2 = 2; ексцент-

.

х

риситет

ε = с =

2

(рис 2).

1

b

10

–2

в) х = 3 − 2y . Зведемо рівняння

..С

до канонічного вигляду: х2 = –18у.

F

0; –

9

. Задане рівняння х = 3 − 2 y визначає праву половину

2

Завдання 4

y

Задача1. Побудуватилінію,

6

заданурівняннямуполярнійси-

0

х

.

стемі координат ρ = 2аcos3ϕ.

–2.Е

.

Знайтиїїрівнянняудекартовій

системі (додатна піввісь Oх

F.

А

співпадає з полярною віссю,

полюс– зпочаткомкоординат).

Рис. 3

Розв’язання

У полярний системі координат

y

ρ ≥ 0, томутребабратиcos3ϕ ≥ 0. В

тригонометричному колі знаки

π

cos3ϕ розподіляються так, як

6

показано на рис. 4. Згідно з цим

достатньо побудувати лінію для

–

π

х

0 ≤ ϕ ≤ π , а далі, враховуючи пері-

6

6

одичністьтапарністьфункціїcos3ϕ,

Рис. 4

розповсюдитиїїнапроміжок π

≤ ϕ

≤ 2π.

6

Таблиця 1

Складаємо таблицю значень функ-

ϕ

3 ϕ

cos3ϕ

ρ

ціїρ = 2acos3ϕ (табл. 1).

0

0

1

2а

Точки з’єднуємо плавною лінією

(рис. 5). За формулами ρ =

x

2

+ y

2

,

π

π

3

≈1,7а

18

6

2

cos ϕ =

x

,

sin ϕ =

у

одержимо рівняння

π

π

2

≈1,4а

12

4

ρ

ρ

2

лiнii вдекартовихкоординатах:

π

π

1

а

9

3

ρ = 2acos3ϕ = 2a(4cos3ϕ – 3cosϕ),

2

звідси

π

π

0

0

6

2

2

2

4x

3

3x

,

π

x

+ y

−

= 2a

(x

2

+ y

2 3

x

2

+ y

2

6

)

ρ

отже,

0

π

– 6

(х2 + у2)2 = 2a(4х3 – 3х(х2 + у2)).

Таблиця 2

y

ϕ

sin ϕ

ρ

0

0,0

0,0

π

0,5

1,0

6

π

0,7

2,7

4

π

0,85

4,9

3

0

1

x, ρ

π

1,0

8,0

2

Рис. 6

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

1

y = 4 − x 2

;

2

y = x 2

− 3x − 2;

y = x 2 − 2x

y = −2x

3

y2 + 4x =

4;

4

y = x 2

− 2x + 4;

y2 −12x = 36

9x + y

+ 2 = 0

5

y = x 2

− 3x ;

6

y = 5x − 2x 2 ;

y = 2x

− 6

y = 2x

− 2

7

y = 9 − x 2

;

8

y = x 2

− 3x ;

y = x 2 − 3x

y = 2x

+ 6

9

y = x 2

+ 5x ;

10

y = x 2

− 2x −1;

y = 2x

+ 4

y = 1− x

11

x = 8 − y2

;

12

y = 3x 2 − 3;

x = y2

y = x 2 + 6x + 5

13

y2 = 2x +

2;

14

y = (x −1)2 ;

y2 = 6

− 2x

y2 = x

−1

15

x = 4 − y2

;

16

y = x 2

− 5x ;

x = y2 − 2y

y = −x

2 + x + 8

17

x = y2 − 4;

18

y = x 2 − 4x − 3;

x = − y2 + 3y + 5

y + 3x +1 = 0

19

x = 2y2 + 6y ;

20

x = 4 − y2 ;

x − y + 2 = 0

x = 3y2

21

y = x 2

+ 3x ;

22

y = x 2

− 4x ;

4x + y

+ 6

= 0

x + y − 4 = 0

23

y = x 2 − 5x ;

24

x 2 − 2y = 3;

3x + y − 3 = 0

x 2 − y = 4

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

1

ρ = acos 3ϕ

2

ρ = 2 + cos ϕ

3

ρ = 1− cos ϕ

4

ρ = 3 + cos ϕ;

ρ = 2

5

ρ = 3cos 2ϕ

6

ρ = 2 (1− cos ϕ) ;

ρ = 4

7

ρ = 4 cos 3ϕ

8

ρ = 2 + sin ϕ

9

ρ = 3 – sin ϕ

10

ρ = 2 sin 4ϕ

11

x = a cos3 t ;

12

ρ = 4 sin

2

ϕ

3

t

y = a sin

13

ρ = a (1− cos ϕ)

14

ρ = asin 2ϕ

15

ρ = acos 2ϕ

16

ρ = 2(1+ sin ϕ)

17

ρ = 2 (1+ cos ϕ)

18

ρ = 2 cos 6ϕ

x = 2(t − sin t ),

2

19

= 2 (1 − cost );

20

y

ρ = 2 cos 2ϕ

0 ≤ t ≤ 2π

21

ρ2 = a2 sin 2ϕ

22

ρ = asin 3ϕ

23

ρ = 3 (1− sin ϕ)

24

ρ = a cos 5ϕ

25

ρ = 0,5 ( 3 − sin ϕ)

Завдання 3. Обчислити довжини дуг кривих.

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

1

x = a (2cost − cos 2t);

2

x

= 3cos3 t;

= a (2sin t − sin 2t)

= 3sin3 t

y

y

3

x = et sin t,

4

x = 2(t − sin t),

= e

t

cost;

= 2(1− cost);

y

y

0 ≤ t ≤ 2π

0 ≤ t ≤ 2π

3

y = ln cos x;

5

y = (1+ x)

;

6

π

2

0 ≤ x ≤

−1

≤ x

≤

4

4

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

x = 10 cos3 t,

7

ρ = 3 (1− cos ϕ)

8

=

10 sin

3

t;

y

0 ≤ t ≤

π

2

9

y =

1

(ex

+ e− x );

10

y = (x −1)3;

2

1 ≤ x

≤ 5

0 ≤ x

≤ ln 3

ϕ

x =

3 t 2 ,

11

ρ = a sin

3

12

= t − t

3

;

y

3

− 1 ≤ t ≤ 1

y = ln sin x;

y = 1

− ln cos x;

13

π

≤ x ≤

π

14

0 ≤ x

≤

π

3

2

6

t

3

y = ch x;

x

=

− t,

15

16

3

0

≤ x

≤ 1

= t

2

+ 1;

y

0 ≤ t ≤ 3

ρ = a cos

3 ϕ

;

17

3

18

ρ = 1− cos ϕ

0

≤ ϕ ≤ π

2

ρ = 5 (1 + cos ϕ);

x =

5(t − sin t),

19

20

= 5(1− cos t);

0

≤ ϕ ≤ π

y

0 ≤ t ≤ π

21

x = 4cos3 t,

22

y = 6

x

3

;

4sin

3

t

≤

y =

0 ≤ x

3

t 6

x =

6 ,

4

y =

1

ch 2x;

23

t

24

2

2 −

;

≤ 3

y =

4

0 ≤ x

0 ≤ t ≤ 4 8

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

x = a (3cost − cos3t),

25

y = a (3sin t − sin 3t);

0 ≤ t ≤ π

2

Завдання4. Обчислитиоб’ємтіла, щообмеженезаданимипо-

верхнями. Зробити рисунок.

Варіант

Рівняння поверхонь

1

x

2

y2

z2

+ 16

+ 25 = 1

2

y2

z2

x = 2

+ 8 ;

x = 4

3

z =

x 2

y2

z = 2

9

+ 4 ;

4

2

x 2

y2

(z − 3)

= 16 + 9 ; z = 0

5

x 2

y2

z2

4

+ 9

− 4 = 1; z = −1; z = 1

6

z = 4 − y2 ; x = 0; y = 0; z = 0; x = a

7

z = 4 − x 2 − 4y2 ; z = 0

8

x 2

y2

z2

25

+ 9

− 16 = 1; z = 0; z = 4

9

z = 9x 2 + y2 ; z = 4

10

x 2

y2

z2

16

+ 9

− 100 = 1; z = 0; z = 6

11

z = 2x2 + 6 y2 ; z = 6

12

z = 3 − 2x 2 − 6y2 ; z = 0

13

z = 9 − x 2 − 9y2 ; z = 0

14

z = x 2 + 2y2 ; z = 4

Варіант

Рівняння поверхонь

15

x 2

y2

z2

16

+ 9 + 36 = 1; z = 0; z = 3

16

x 2

y2

2

9

+ 4 − z = 1; z = 0; z = 4

17

x 2

y2

z2

16

+ 9 + 64 = 1; z = 0; z = 4

18

x 2

y2

2

25

+ 9 − z = 1; z = 0; z = 2

x 2

2

19

+ y = 1; z = y ; z = 0; (y ≥ 0)

9

20

x 2 + y2 = 9; z = y ; z = 0; (y ≥ 0)

21

z = 2x 2 + 8y2 ; z = 4

22

x 2

y2

z2

z = 20

25

+ 9

− 100 = −1;

23

z = 3x 2 + 4y2 ; z = 6

24

x 2

y2

z2

z = 16

16

+ 9

− 64 = −1;

25

x 2

y2

3

+ 4 = 1; z = y 3 ; z = 0; (y ≥ 0)

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

y =

1

(e x + e − x ); x = 1; x = −1;

y = x 2 ; y = 2 − x 2

1

2

2

y = 0

3

y = 2x − x 2 ; y = x

4

y 2 = 2 − x; x = 1

5

y = x 2 ; y = x

6

y = 4x 2 ; y = 4x

7

y = −x 2 + 8 ; y = x 2

8

x = 5 − y 2 ; x = 5 − 2 y

Варіант

Рівняння ліній

Варіант

Рівняння ліній

9

y = 2

x +1; y = 4 − 2x ;

10

y = 2x 2 ; y = x 2 +1

y = 0

11

y = e x ; y = 1; x = ln 2

12

x = 2 y ; x = 2; y = 0

13

y = 4x − x 2 ; y = x

14

y = arcsin x; x = 0

15

y = 9x 2 ; y = 9x

16

y = arccos x ; x = 0

17

x = y ; x = 2 y ; x = 2

18

x = 6 − y2 ; x = 6 − 2 y

19

y = sin x; y = 0; 0 ≤ x ≤ π

20

y = x3; x = 2; y = 0

y = cos3x; x = 0; y = 0;

21

π

22

x = 1− y2; x = 0

x = 6

23

xy = 2; y = 1; x = 1; x = 2

24

y2 = 16x; y = 0; x = 1

25

y = 3 sin x ; y = sin x ;

0 ≤ x ≤ π

Варіант

Умова задачі

Обчислити силу, з якою вода тисне на греблю, що має форму

1

рівнобічної трапеції з верхньою основою a, нижньою b та ви-

сотою h, якщо вода доходить до верхньої основи

Електричний заряд Е, що міститься в початку координат,

2

відштовхує заряд е з точки (а; 0) в точку (b; 0). Знайти роботу А

сили відштовхування F

Знайти роботу, яку треба витратити при викачуванні рідини

3

густиною γ з цистерни, що обмежена поверхнями y2 = 2pz, x =

= ±a(а > 0), z = p (p > 0)

4

Знайти кінетичну енергію диску маси М і радіуса R, який

обертається з кутовою швидкістю ω навколо осі, що проходить

через центр диску перпендикулярно до його площини

5

Яку роботу треба витратити, щоб тіло маси М підняти з по-

верхні землі, радіус якої дорівнює R, на висоту h?

6

Знайти роботу, яку треба витратити, щоб викачати воду з кори-

та, що має форму півциліндра, довжина якого a, радіус основи r

Знайти роботу, яку треба витратити, щоб насипати купу піску