Метод дотичних
Нехай рівняння f(x) = 0 на відрізку [a;b] має ізольований корінь x*, тобто f(a)f(b) < 0, а функції f(x) і f´(x) неперервні і зберігають знак на [a;b].
Нехай xk – k-е наближення кореня. Розкладемо f(x) в ряд Тейлора в околі точки xk
f(x)
= f(xk)
+ f´(xk)(x-xk)
+
f´´(xk)(x-xk)2
+ …
Замість
рівняння f(x)
= 0 розглядатимемо рівняння f(xk)
+ f´(xk)(x-xk)
= 0, яке враховує тільки лінійну відносно
x
- xk
частину ряду Тейлора. Розв’язавши
його відносно x,
дістанемо
.
Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо
xk+1
= xk
-
,
k
= 0, 1, 2, … . (1)
Формула (1) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення xk+1 є абсцисою точки перетину дотичної
y–f(xk) = f´( xk)(x - xk) до кривої y = f(x) в точці (xk, f(xk)) (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x* монотонно.
Мал.
1 ілюструє такі випадки: а) f´´(x)
> 0, f´(x)
> 0; б) f´´(x)
> 0, f´(x)
< 0; в) f´´(x)
< 0, f´(x)
> 0; г) f´´(x)
< 0, f´(x)
< 0.
За
початкове наближення у методі Ньютона
слід брати точку x0
[a;b],
в якій f(x0)f´(x0)
> 0.
Метод
Ньютона є методом послідовних наближень
xk+1
= φ(xk),
де функція
.
(2)
Підбір параметра
Підбір параметра входить до складу набору команд, іноді званого інструментами аналізу «що-як». Якщо відомо, який результат повинна мати окрема формула, але невідомі вхідні значення, які ведуть до отримання цього результату, можна скористатися засобом «Підбір параметра», вибравши команду Підбір параметра у меню Сервіс. Виконуючи підбір параметра, Microsoft Excel змінює значення в одній визначеній клітинці, поки формула, яка залежить від цієї клітинки, не поверне потрібний результат.
Хід роботи
В ході цієї лабораторної роботи:
1. Я визначила інтервали ізоляції коренів рівняння f(x)=0. Для перевірки нерівностей ввела формулу для MS Excel=ЕСЛИ(В10*В11<0,”!!!;””)
2. Уточнила один із коренів рівняння:
-
метод ділення відрізку . Д ля цього в комірку F23 – ввела формулу для виведення значення кореня для:
MS Excel:=ЕСЛИ((В23-А23)<$B$20;Корінь x=”&ОКРУГЛ(С23;4);””).
За цим в комірку А24 ввела формулу обчислення значення а :
MS Excel:=ЕСЛИ(Е23<=0;A23;C23). Після цього в комірку В24 ввела формулу обчислення b
MS Excel:=ЕСЛИ(Е23<=0;C23;B23). Потім скопіювала формули в діапазон комірок С23:F23 в діапазон C24:F24.
Далі виділила діапазон A24:F24 та протягнула за маркер заполнения до тих пір,поки не знайшла корінь.
-
Метод хорд. В комірку С22-формулу ,яка обчислює значення функцій у точці a f(a)=A22+ cos(A22)-0,5. В комірку D22 ввела формулу , яка обчислює зачення функції у точці b f(b)=B22+cos(B22)-0,5. В комірку F22- формулу обчислення чергового наближення до корення x=
=(A22*D22-B22*C22)/(D22-C22). В комірку F22- формулу ,яка обчислює значення функції у точці x f(x)=E22+COS(E22)-0,5. За цим у комірку Е18 формулу=ABS(A22+cos(A22)-0,5,у комірку G19 ввела
MS Excel:МИН(E18:Е 19). Таким чином ввела в комірку А23 формулу обчислення b комірку В23-формулу обчислення :
MS Excel:=ЕСЛИ(G22<0;Е 22;B22).
Після цього в комірку Н23 ввела формулу для визначення корення –
MS Excel:= Если(ABS(F22)<=($B$19*$G$19);” Корінь х=”&ОКУГЛ(Е22;4);”)
Потім виділила діапазон А22:F23 та протягнула за маркер заполнения до тих пір,поки не знайшла корінь.
-
Метод дотичних. Знайшла першу похідну f(x)=x+sinx-0,5. Ввела у комірку В24 формулу =ABS(B21+cos(B21)-0,5), у комірку В25
=ABS(B22+cos(B22)-0,5). За цим у комірку G19 ввела MS Excel
=МИН(В24:В25). Потіму комірку А30 ввела формулу для визначення чергового наближення MS Excel:=ЕСЛИ(Н21<0;В22;В21).Для виведення значення корення в комірку Е30 слід ввести формулу для MS Excel:=ЕСЛИ(ABS(B30)<=$B$19*$B$26;Корінь х=”&ОКРУГЛ(D30;4);””). Далі виділила діапазон А30:Е30 та протягнула за маркер заполнения до тих пір,поки не знайшла корінь.
-
Вбудований інструмент електронних таблиць Подбор параметра. Для цього в комірку ввела значення параметру в середині інтервалу ізоляції. В комірку В24 - формулу для обчислення значення функції в цій точці =А4+СOS(A4)-0,5. Після натискання кнопки ok діалогового вікна подбор параметра на екран було введено діалогове вікно результату. Потім я натиснула кнопку ok(так). Значення аргументу яке підібрано було збережено в комірці аргументу.
3. Порівняла отримані результати та зробила висновок що корні вийшли однакові.
ВИСНОВОК:
В ході цієї лабораторної роботи я навчилася розв’язувати чисельними методами нелінійних рівнянь з однією зміною, використовувала чисельні методи. Також я визначила інтервали ізоляції коренів рівняння. Уточнила один здійсних коренів рівняння, використовуючи :
-
метод ділення відрізку навпіл;
-
метод хорд;
-
метод дотичних;
-
вбудований інструмент електронних таблиць Подбор параметра.
Після цього я порівняла отримані результати та зробила висновок, що отриманні корені вийшли однакові.
Арк.
Дата
Підпис
6.050504.1121.03.01
№ докум.
Змн.
Арк.
