3. Задача 2. « Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил»

Варианты 1 – 5 (схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной ) по наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом, в течениес. Его начальная скорость. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен .

В точке В тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку С плоскости BD, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухеТ с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: = 30°;= 0 ,= 0,2 = 10м ,=60°. Определитьи

Вариант 2. Дано: = 15°;= 2м/с, = 0,2 , = 4м,=45°. Определитьи уравнение траектории точки на участкеBC.

Вариант 3. Дано: = 30°;=2,5м/с ,≠ 0 , ,= 8м ,d = 10м, =60°. Определитьи

Вариант 4. Дано: =0, = 2с, = 0; =9,8м;=60°. ОпределитьиT.

Вариант 5. Дано: = 30°;= 0, = 3с,=9,8м;=45°. Определить и

Варианты 6 - 10 (схема 2). Лыжник подходи к точке А участка трамплина

АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину, со скоростью.

Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен . Лыжник отА до В движется с; в точкеB со скоростью он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростьюв точке С горы, составляющей уголс горизонтом

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: = 20°,= 0,1, = 40м ,=30°.

Определить и

Вариант 7. Дано: = 15°;= 16 м/с ,= 0,1 = 5м ,=45°.

Определить иT.

Вариант 8. Дано: = 21м/с ,= 0, = 3с,= 20м/с ,=60°.

Определить иd

Вариант 9 Дано: = 15°;= 3с,= 0,1,=м ,=45°. Определитьи .

Вариант 10. Дано: = 15°;= 12м/с ,= 0, d = 50м , =60°. Определитьи уравнение траектории лыжника на участкеBC.

Варианты 11 – 15 (схема 3). Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается с по участкуАВ длиной , составляющему с горизонтом угол. При постоянной на всем участкеАВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Тс и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна т.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: = 30°;Р ≠ 0; = 40 м;= 0: = 4,5 м/с; d = 3 м. Определить и.

Вариант 12. Дано: = 30°;Р = 0; = 40 м; = 4,5 м/с; = 1,5 м. Определить и d.

Вариант 13. Дано: = 30°; т = 400 кг, = 0; = 20 с;d = 3 м; =1,5 м. ОпределитьР и .

Вариант 14. Дано: = 30°;т = 400 кг; Р = 2,2 кН; = 0; = 40 м; :d = 5 м. Определить и.

Вариант 15. Дано: = 30°;= 0; Р = 2 кН,= 50 м;=50 м, d = 4 м. Определить Т и т

Варианты 16 – 20 (схема 4). Камень скользит в течение с , по участкуАВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину . Его начальная скорость. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен Имея в точкеВ скорость , камень через Т с ударяется ; в точке С о вертикальную защитную стену.

При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: = 30°;= 1 м/с;= 3 м; = 0,2; d = 2,5 м. Определить иТ.

Вариант 17. Дано: = 45°;= 6 м; = 2 ; = 1 с; = 6 м. Определитьd и f.

Вариант 18. Дано: = 30°; = 2 м; = 0 м/с, = 0,2; d = 3 м,

Определить и.

Вариант 19. Дано: = 15°; =3 м; = 3 м/с, ≠ 0; = 1,5 с;d = 2 м,

Определить и .

Вариант 20. Дано: = 45°, = 0; = 0,3;d = 2 м; = 4 м. Определитьи.

Варианты 21 – 25 (схема 5). Тело движется из точки А по, участку АВ (длиной ) наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом. Его начальная скорость. Коэффициент трения скольжения равен .Черезс тело в точкеВ со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью , при этом оно находится в воздухе Т с.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: = 30°;= 1 м/с;= 1,5 с; = 0,1; = 10 м. Определить иd.

Вариант 22. Дано: = 45°;= 10 м;= 0; = 2 с; .Определить и уравнение траектории на участке BC.

Вариант 23. Дано: = 9,81 м; = 0 м/с, = 0; = 20 м, = 2 с, ОпределитьиT

Вариант 24. Дано: = 30°; =10 м; = 0 м/с, = 0,2; d = 12 м,

Определить и .

Вариант 25. Дано: = 30°, = 0; = 0,2; = 4,5 м; = 6 м. Определитьи.

Варианты 26 – 30 (схема 6). Имея в точке А скорость ,тело движется по горизонтальному участку АВ длиной в течение с. Коэффициент скольжения тела по плоскости равен . Со скоростьютело в точкеB покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухеT с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: = 7 м/с;= 8 м, = 0,2; = 20 м.

Определить иd.

Вариант 27. Дано: d = 2 м; = 4 м/с; = 2 с; = 0,1 .

Определить и.

Вариант 28. Дано: = 3 м;=3 м/с, = 0,3; = 5 м.

Определить иT

Вариант 29. Дано: =2,5 м; = 3 м/с, =1 м/с, = 20 м.

Определить и d.

Вариант 30. Дано: = 0,25; = 5 м; = 4 м,d = 3 м.

Определить и.

Пример решения Задачи 2

В железнодорожных скальных выемках кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устанавливается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость = 0, определить наименьшую ширину полкиb и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину , камень движетсяс. При решении задачи считать коэффициент трения скольжениякамня на участкеAB постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: = 60°;=0 м/с ,≠ 0 ,= 4м ,= 1 с,=75°. Определитьиb.

Решение: рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес , нормальную реакциюи силу трения скольжения. Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

Сила трения

где

Таким образом

или

интегрируя дифференциальное уравнение дважды получаем:

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t = 0, x₀₁=0 и ^

Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0:

Найдем постоянные С₁ = 0, С₂ = 0

тогда

Для момента , когда камень покидает участок,

т.е

откуда

т.е.

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:

Начальные условия задачи; при t = 0

x₀=0, y₀ = 0

Интегрируем дифференциальные уравнения

x = C₃t + C₅, y = gt²/2 + C₄t + C₅.

Напишем полученные уравнения для t = 0

x=C₅; y = C₆.

Отсюда найдем, что

Получим следующие уравнения проекций скоростей камня:

И уравнения его движения:

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

В момент падения y = h, x = d.

Определяя d из уравнения траектории, найдем

d₁ = 2,11 м, d₂ = –7,75 м.

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d = 2,11 м.

Минимальная ширина полки

b = d – ED = d – h/tg75°, или b = 0,77 м.

Используя уравнение движения камня найдем время Т движения камня от точки В до точки С: Т = 0,53 с.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат

По формуле

Для момента падения t = T = 0,53с

или