|
Выпуклость и
вогнутость линий точки перегиба.
Линия называется
выпуклой,
если она пересекается с любой своей
секущей не более чем в двух точках.
Линия называется
вогнутой,
если она целиком лежит по одну сторону
от касательной, проведенной в любой
ее точке.
Точка перегиба
- точка, отделяющая выпуклый участок
дуги от вогнутого.
Необходимый
признак выпуклости и вогнутости:
-
если линия на
интервале выпуклая, то ее 2я производная
<=0;
-
если линия на
интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0
Достаточный
признак:
-
если f``(x) везде
в интервале “-”, то линия в интервале
выпуклая;
-
если f``(x)>0,
то линия вогнутая.
Признаки точки
перегиба:
чтобы х0
была точкой перегиба, <=> чтобы у``
в этой точке была равна 0 и меняла знак
при переходе х через х0.
Асимптота
- прямая, к которой график функции
стремится, но никогда ее не пересекает.
-
прямая х = х0
называется вертикальной асимптотой
графика функции f(x) = y, если при х
х0
|f(x)|
(вида x = b);
-
y = kx
+ b,
y
= f(x)
- общее уравнение наклонной асимптоты
lim[f(x)
- (kx
+ b)]
= 0, f(x)
= kx
+ b
+ (б.м.в.)
по свойству x
пределов.
Разделим левую и правую части на х.
Возьмем предел при х
f(x)/x
= k
+ b
/ x
+ /x,
lim(f(x)/x)
= limk + lim(b/x) + lim(/x)
x
,
то
k =
lim(f(x)/x), b = lim[f(x) - kx]
Если эти пределы
существуют, то существует и наклонная
ассимптота вида kx
+ b
= y.
-
k
= lim(f(x)/x)
= 0, y
= b
- горизонтальная асимптота.
|
Формулы
дифференцирования.
|
(xn)’
= n
xn-1
|
(un)’x
= nun-1
u’x
|
|
(ax)’
= ax
ln
a
|
(au)’x
= au
ln a u’x
|
|
(х)’
= 1 / 2х
|
(u)’x
= u’x
/ 2u
|
|
(1
/ х)’ = -1 / х2
|
(1
/ u)’x
= -u’x
/ u2
|
|
(ех)’
= ех
|
(еu)’x
= еuu’x
|
|
(ln
x)’
= 1 / x
|
(ln
u)’x
= u’x
/ u
|
|
(logax)’=
1 / (xln
a)
|
(logau)’x=
u’x
/ (uln
a)
|
|
(sin
x)’ = cos x
|
(sin
x)’x
= cos u u’x
|
|
(cos
x)’ = -sin x
|
(cos
x)’x
= -sin u u’x
|
|
(tg
x)’ = 1 / cos2x
|
(tg
u)’x
= u’x
/ cos2u
|
|
(ctg
x)’ = -1 / sin2x
|
(ctg
u)’x
= - u’x
/ sin2u
|
|
(arcsin
x)’ = 1 / (1-x2)
|
(arcsin
u)’x
= u’x
/ (1-u2)
|
|
(arccos
x)’ = -1 / (1-x2)
|
(arccos
u)’x
= - u’x
/ (1-u2)
|
|
(arctg
x)’
= 1 / (1+x2)
|
(arctg
u)’x
= u’x
/ (1+u2)
|
|
(arcctg
x)’
= -1 / (1+x2)
|
(arcctg
u)’x
= - u’x
/ (1+u2)
|
Свойства:
(u
v)’
= u’v
+ uv’
(u / v)’
= (u’v - uv’) / v2
|
Общая схема
исследования функции и построение
графика.
Найти:
-
область определения
функции;
-
точки разрыва и
интервалы, где функция является
непрерывной;
-
поведение функции
в окрестностях точки разрыва,
вертикальной асимптоты;
-
точку пересечения
графика с осями координат;
-
симметрия графика
(четность/нечетность):
f(-x)
= x
симметрична относительно осей;
f(-x)
= -x
симметрична относительно О(0,0).
-
периодичность;
-
интервалы
монотонности;
-
точки экстремума;
-
наибольшее и
наименьшее значение;
-
выпуклость,
вогнутость;
-
точки перегиба;
-
поведение функции
в бесконечности, наклонная и
горизонтальные асимптоты.
Нанесение на
график.
|
