Matematika_Praktikum

УДК 517.2/.3 + 519.2 (075.8) ББК 22.161.1+22.17 М 34

Авторы – составители: М.П. Булаев, М.Н. Дмитриева, Н.В. Дорошина, И.С. Маркова, О.А. Назарова, Е.В. Прохорова

Рецензенты: С.П. Вихров, д.ф.-м.н., профессор Рязанского

государственного радиотехнического университета;

А.Н. Пылькин, д.т.н., профессор Рязанского государственного радиотехнического университета;

Предназначен для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и математической статистики. Практикум рассчитан на студентов специальностей 060101, 060104, 060105, 060108, 030302 дневной, вечерней и заочной форм образования.

Он также может быть полезен студентам других гуманитарных специальностей.

УДК 517.2/.3+519.2 (075.8) ББК 22.161.1+22.17

Табл.: 60 Ил.: 38 Библиогр.: 10 назв.

Печатается по решению Учебно-методического Совета Рязанского государственного медицинского университета.

ГОУ ВПО «РязГМУросздрава», 2009

2

некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А –

конечный предел функции f(x).

1.2. Операции над пределами

1. Предел постоянной есть сама постоянная: limC C , где С =

x a

const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х а;

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

lim( f (x) g(x)) lim f (x) lim g(x);

3. Предел произведения равен произведению пределов:

lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x);

4. Постоянную можно выносить за знак предела:

limC f (x) C lim f (x);

5. Предел отношения равен отношению пределов:

6. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и lim f (x) A, то А>0.

x a

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0;

0

8.число 0;

число

9.0 ;

10.число ;

4

12. Неопределенность вида можно раскрыть, если

числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;

0

13. Неопределенность вида можно раскрыть, если

0

числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.

1.3. Замечательные пределы

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. lim P(x) , где

x Q(x)

P(x) = a0xn + a1xn–1 +…+an, Q(x) = b0xm + b1xm–1 +…+bm.

Преобразуем данную дробь следующим образом

которая приблизительно равна 2,718281828… Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо

функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

5

№1. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

Решение.

а) Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

б) Так как пределы числителя и знаменателя при х 2 равны

нулю, то мы имеем неопределенность вида 0. «Раскроем»

0

эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х – 2:

6

г) Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность

вида . Раскроем эту неопределенность. Поделим

числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х2:

Решение.

7

равенстве мы воспользовались первым замечательным

пределом. Таким образом, lim sin x .

x 0 x

б) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

в) Сводя предел к первому замечательному пределу, сделаем замену у=х– . Тогда у 0 при х , а х=у+ , откуда:

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем – первый замечательный предел.

г) Так как х 0, то воспользуемся эквивалентностью №4:

lim arcsin x lim x lim1 1.

x 0 x x 0 x x 0

8

9

1.6. Контрольные вопросы Глава 2. Производная и дифференциал

2.1 Понятие производной

Рассмотрим функцию y=f(x). Предположим, что x0 внутренняя точка множества определения функции. Зададим приращение аргумента x 0 такое, что точка x0+ x Df. Тогда соответствующее приращение в т. x0 будет иметь вид:

f=f(x0+ x)–f(x0).

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргументах 0, то он называется значением производной функции f(x) в точке х0

Если функция y=f(x) имеет конечную производную в каждой точке некоторого промежутка, то производную можно считать

функцией переменной х и обозначать у /(х), dy .

dx

Если в точке x0 существует конечная производная функции y=f(x), то эта функция называется дифференцируемой в точке x0.

Если функция y=f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она дифференцируема на промежутке.

2.2. Геометрический и физический смысл производной

10