5.4. Варианты заданий

№ 5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1. у=е^х;

2. ;

3. у=ln x;

4. ;

5. y=sin x;

6. y=e^2x;

7. ;

8. у=(х–1)²;

9. y=cos x;

10. y=ln x²;

№ 5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

11. у=sin x;

12. y=cos x;

13. y=sin(x²);

14. y=sin² x;

15. y=cos² x;

16. y=sin(2x);

17. y=cos(2x);

18. ;

19. y=ln² x;

20. y=ln³ x;

№ 5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить полученные значения с аналитическими.

21. y=e^2x;

22. ;

23. ;

24. у=(х–1)²;

25. y=ln(x²);

26. y=;

27. y=sin² x;

28. ;

29. ;

30. .

5.5. Контрольные вопросы Глава 6 Основы интерполяции.

6.1. Постановка задачи

Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на интервале [a,b]

f(x_n)=y_n, f(x₁)=y₁, ... , f(x_n)=y_n (6.1) в n+1 точках x₀, x₁, x₂, ... ,x_n.

Под интерполяцией понимается нахождение по таблице значений функции её аналитического описания, позволяющего вычислять значение этой функции от аргумента отсутствующего в таблице, т.е. так называемое чтение "между" строк. Задача сводится к построению функции f(x) (интерполирующей функции), принадлежащей известному классу функций и принимающей в точках x₀, x₁, x₂, ... , x_n (узлах интерполяции) те же значения, что и функция

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, ... , f(x_n)=y_n,

а в остальных точках отрезка [a,b] приближённо представляющая функцию f(x) с какой-то степенью точности.

При этом допускают, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нём в каждой точке конечные производные любого порядка, а узлы интерполирования отличны друг от друга.

Через точки x₀, x₁, x₂ , ... , x_n можно провести бесчисленное множество кривых (рис. 6.1). Следовательно, задача отыскания функции f(x) по её значениям, поставленная таким образом, является неопределённой: можно построить бесчисленное множество функций принимающих при x₀, x₁, x₂ , ... , x_n, значение y₀, y₁, y₂, ... , y_n

Рис. 6.1

Чтобы получить единственную f(x) наложим на неё дополнительные ограничения, а именно, в качестве f(x) используем полином P(x) степени на единицу меньше числа заданных значений n+1.

Интерполяционные формулы конечных разностей

Для функции f(x), заданной таблично, величина _i=y_i+1-y_i называется первой нисходящей конечной разностью. Величина ²y_i=y_i+1-y_i - второй конечной разностью, а, следовательно, для произвольного порядка будем иметь

ⁿy_i=^n-1y_i+1-^n-1y_i. (6.2)

Первая восходящая конечная разность определяется из

,

для разности второго порядка имеем формулу

и аналогично для произвольного порядка получаем

. (6.3)

Нисходящие разности употребляются в основном в начале таблицы, а восхо­дящие разности в конце её.

Для функции f(x), заданной в равноотстоящих точках, для интерполирования вперёд используется формула Грегори-Ньютона в виде.

(6.4)

где t=(x-x₀)/h - число шагов необходимое для достижения точки x, исходя из точки x₀; ^ky₀ - нисходящая конечная разность k-го. Погрешность этой формулы, называемой первой интерполяционной формулой Ньютона, определяется из

(6.5)

где x₀x.

Полином выгодно использовать в окрестностях начального значения x₀, когда t - мало по абсолютной величине.

Если в (6.4) положить n=1, то получим формулу линейного интерполирования

P₁(x)=y₀+ty₀, (6.6)

при n=2 будем иметь формулу квадратичного интерполирования.

. (6.7)

За начальное значение x₀ можно принять любое x. Тогда формула (6.4) содержит только те значения y(x), которые идут после этого начального значения.

Если дана неограниченная таблица значений y, то степень полинома n может быть любой и её выбирают из условия, чтобы ⁿy была с заданной степенью точности постоянной.

Формула Грегори-Ньютона для интерполирования назад (вторая интерполяционная формула Ньютона) имеет вид

(6.8)

где t=(x-x_n)/h.

Погрешность формулы (6.8) определяют по

, (6.9)

в котором .

Формулу рекомендуется применять вблизи конца таблицы. Обе формулы можно использовать для экстраполяции y(x), если она на концах [a,b] изменяется плавно. Шаг экстраполяции берётся h/2.