1.12 Переходный режим автогенератора

В обычных условиях процесс генерации начинается с малых амплитуд. Начальный рост колебаний происходит по одному экспоненциальному закону (рисунок 19 а), а окончательный рост колебаний продолжается до установившегося режима, когда амплитуда колебаний достигает постоянной величины – по другому закону (рисунок 19 б). Процесс установления колебаний иллюстрируется рисунке 20 .

Рисунок 20 – Процесс установления стационарной амплитуды.

Математические расчеты и опытные исследования позволяют сделать следующие выводы:

1 Установившаяся амплитуда колебаний генератора не зависит от начальных условий.

2 Время установления стационарной амплитуды зависит от начальной амплитуды и параметров элементов схемы.

Если учесть, что процесс установления колебаний начинается с малых амплитуд и заканчивается, когда амплитуда достигает 0,95 установившегося значения, можно рассчитать время установления колебаний со стационарной амплитудой

t ≈ 2QT. (25)

Формула (25) показывает, что время установления прямо пропорционально добротности контура Q и периоду колебания T. Чем выше добротность и больше период, тем медленнее нарастает амплитуда колебаний.

1.13 Метод фазовой плоскости

Для исследования переходного процесса в генераторе можно пользоваться методом фазовой плоскости, который представляет собой качественный метод интегрирования дифференциальных уравнений. В результате изучения дифференциального уравнения второго порядка качественным методом нужно найти связь , по которой устанавливаются основные черты процесса x(t). Смысл такого перехода состоит в том, что нахождение связи представляет собой, как правило, гораздо более простую задачу, чем нахождение зависимости x(t). В то же время от уравнения можно перейти к зависимости x(t). График зависимости принято изображать на плоскости, где по оси абсцисс откладывается значение функции x(t)=x, а по оси ординат — значение ее первой производной dx/dt ==y.

Плоскость с координатами y, х называют фазовой плоскостью, а зависимость y(х) или — фазовой траекторией (фазовым изображением, фазовым портретом).

Рассмотрим фазовые изображения некоторых часто встречающихся видов движения.

1.Равномерное движение. С временной точки зрения уравнение движения определяется выражением х = vt, а график x(t) представляет собою прямую, наклоненную в временной оси под углом α = arctg v (рисунок 21 а). Находя производную по времени, dx/dt ==v убеждаемся в том, что фазовый портрет (фазовое изображение) представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (рисунок 21 б).

2.Равноускоренное движение. Уравнение равноускоренного движения имеет вид:. После дифференцирования по времени получаем уравнения вида: y=at и исключив параметр t, получим: .

Рисунок 21 – К пояснению фазового портрета равномерного движения:

а) временная зависимость координаты; б) фазовый портрет.

Графики функций x(t) и у(х) даны на рисунках 22 а и 22 б, соответственно.

Рисунок 22 – К пояснению фазового портрета равноускоренного движения:

а) временная диаграмма; б) фазовый портрет

3 Гармонические колебания. Уравнение гармонического колебания: x = x₀sinωt; а уравнение производной: y = ωx₀cosωt. Возведя в квадрат обе части уравнений и сложив их, после преобразований получим:

Фазовый портрет гармонического колебания представляет собой эллипс (рисунок 23).

Рисунок 23 – К пояснению фазового портрета синусоидального колебания:

а) временная диаграмма: б) фазовый портрет