Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТеорМЕХ3куПМ

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
1.55 Mб
Скачать

41

координат являлись бы независимыми.. Пользуясь такой независимостью, можно принять равными нулю все вариации координат, кроме xj . Тогда в первой сумме останется только

одно слагаемое

(X j m j xj )xj 0

Так как xj

0 , то должно быть равно нулю выражение в квадратной скобке, которое приводит

к уравнению (уравнениям, так как в наших рассуждениях индекс

j

не фиксировалcя)

 

 

 

mj xj

X ,

j=1,2,…,3N

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

В общем же случае,

не все x j 0

независимые, так как они связаны двумя системами

равенств. () и (). Число независимых вариаций координат равно 3 N

k r .Чтобы в этом случае

найти независимые вариации координат можно поступить так.

Принять например, первые

k r вариаций координат

зависимыми,

и выразить их через

 

остальные ( независимые)

координаты,

разрешив

k

r уравнений связей относительно зависимых вариаций координат.

Полученные значения подставить в уравнение (),

и пользуясь независимостью оставшихся

вариаций координат получить соответствующие дифференциальные уравнения движения

системы, которые ,

очевидно, будут

отличаться от уравнений

() так

как в них

будут

присутствовать

еще

и производные

f

и коэффициенты a

.

Лагранж

предложил

более

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

изящный метод

исключения зависимых вариаций координат,

основанный на использовании

метода неопределенных множителей,

 

известного студентам по разделу относительного

экстремума функции

курсе математического анализа.

 

 

 

 

Займемся выводом уравнений Лагранжа 1-го рода. Имеем по принципу Даламбера-Лагранжа

 

3N

 

 

 

 

 

 

 

 

(Xν

 

mν xν )δxν

0

 

 

ν 1

 

 

 

 

 

 

 

Каждое из уравнений () умножаем

на

соответствующий множитель

и суммируем

полученные равенства по всем

. Получаем.равенство

 

 

k

 

3N

f χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

χ

 

 

 

δx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xν

ν

 

 

 

χ 1

 

ν 1

 

 

 

Меняем порядок суммирования, что дает

3N k

1 1

f

x

x 0

Аналогично, каждое из уравнений () умножаем на соответствующий множитель суммируем полученные равенства по всем , и меняем порядок суммирования

 

3N

r

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

0;

 

1

 

1

 

 

 

Складываем равенства () , () и ().

 

 

 

 

 

3N

 

k

 

f χ

r

 

 

 

 

 

{X ν

mν xν

 

λχ

 

 

μχ aρ ν } δxν 0

 

xν

 

ν 1

χ

1

 

χ

1

Выберем значения k+r множителей Лагранжа и таким образом, чтобы выражения в фигурных скобках при k+r зависимых вариациях координат обратились в ноль. Тогда в силу

42

независимости остальных 3N-k-r вариаций координат выражения в фигурных скобках также должны быть равны нулю, что приводит к системе уравнений Лагранжа 1 рода

 

 

 

 

 

 

f χ

 

 

 

 

k

 

 

 

 

r

 

 

mν xν

Хν

 

λχ

 

 

 

 

μρaρ ν

ν 1,...,3N

 

 

 

xν ρ 1

 

 

χ

1

 

 

 

 

которые совместно с уравнениями связей

 

 

 

 

 

 

f χ (x1 ,...,x3N ,t)

0,χ

1,...,k

 

 

3N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aρ ν xν

aρ , ρ

 

 

1,2,...,r

 

λ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образуют замкнутую систему 3N

k

r

уравнений для определения 3N k r неизвестных:

x ν ( ν 1,...,3N), λχ ( χ

1....,k )

и μρ

(

 

1,...,r ) .

 

Вэтих уравнениях:

Хν - внешние активные силы, действующие на систему,

λχ

f χ

- силы реакций соответствующих голономных связей,

xν

 

 

μρ aρν - силы реакций соответствующих неголономных связей,

Достоинства и недостатки Уравнений Лагранжа 1 рода. Достоинства:

Описывается движение механической системы с любым количествтом материальных точек и связей,

Учитываются не только голономные, но и неголоно, мные связи. Можно определить величины реакций связей Можно определить движение каждой точки системы.

Недостатки Большое число уравнений, которые надо решать.

С увеличением количества связей увеличивается число уравнений, подлежащих решению.

Уравнения Лагранжа 2 рода.

Перечисленных выше недостатков лишены уравнения Лагранжа 2 рода. Обратим внимание на то, что с увеличением количества связей свободы движения для точек системы уменьшается. Уменьшается число степеней свободы, которое для одной материальной точки равно 3, для абсолютно твердого тел – 6, для абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой – 3. За число степеней свободы системы можно принять число независимых вариаций координат. Если на систему наложены только к геометрических (голономных) связей, то число степеней свободы для такой системы будет равно n= 3N-k. Столько же будет у такой системы независимых координат.

Обобщенные координаты.

Положение точек и абсолютно твердых тел в системе не обязательно определять в декартовой системе координат, особенно в случаях, когда на систему наложены геометрические связи. Бывает более удобным определять положение системы другими величинами. Например, для абсолютно твердого тела с неподвижной осью вращения , нами положение этой системы материальных точек определялось только одним параметром - углом

В общем случае обобщенные координаты вводятся как не зависимые между собой величины, являющиеся только функциями времени и полностью определяющие положение

43

системы в любой момент времени..Их число равно числу степеней свободы системы. Они обозначаются так

q1 ,q2 , ,...,qn

Координаты всех точек системы при этом должны быть только функциями этих координат и времени

xν xν (q1 ,q2 , ,...,qn ,t).ν 1,...,3N

Изохронные вариации этих координат равны

n

xν

 

xν

q j

q j

j 1

 

Подставляем эти вариации в принцип ДаламбераЛагранжа

3N

n

xν

 

 

(X ν mν xν )

 

q j

0

j 1 q j

ν 1

 

 

Это уравнение удобно переписать так

n 3N

 

xν

3N

 

xν

 

 

 

( m x

X

 

) q

 

0

 

 

 

j 1 ν 1

ν

q j

ν 1

νν q j

j

j

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу независимости вариаций обобщенных координат имеем равенства

3N

 

 

xν

mν x

q j

ν 1

 

 

Введем обозначения

 

 

 

3N

 

 

xν

X

 

 

νν

q j

ν 1

 

 

Преобразуем теперь выражение

3N

xν

 

X ν ν

0, j 1,2..,,n

q j

ν 1

 

Qj - обобщенные силы.

 

xν

. Можно записать

 

x

q j

 

 

x

 

xν

 

 

dx

 

 

xν

 

 

 

d

( x

 

 

xν

) x

d

 

xν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

dt q j

 

 

dt

 

 

 

 

 

q j

 

 

 

dt q j

 

 

 

Имеют место равенства Лагранжа, которые нетрудно проверить

 

 

 

xν

 

 

 

 

xν

 

d xν

xν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

 

 

 

 

q j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt q j

q j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка справедливости равенств Лагранжа. Учтем, что xν

 

dx

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

n

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцирование

 

 

 

 

 

 

 

dt

i 1

qi

 

 

t

 

 

 

 

 

q j подтверждает справедливость

 

 

этих равенств

 

 

по переменной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первого равенства Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцированием этих равенств по переменной q j

получаем равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

2 x

q

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

i 1 qi q j

i

 

 

t q j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

 

 

 

 

 

С другой стороны, полная производная по времени от функции

xν

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

 

d x

n 2 x

qi

2 x

 

 

 

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

 

dt q j

i 1 qi q j

t q j

 

 

 

 

 

 

Так как правые части последних двух равенств совпадают, то должны совпадать и левые их части, чем и подтверждается справедливость второго равенства Лагранжа.

В силу равенств Лагранжа формула

() преобразуется к виду

x

xν

 

d

 

( x

xν

)

x

xν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

 

dt

q j

 

q j

которую удобно представить в такой форме

 

 

 

x

x

 

d

 

x 2

 

 

x 2

ν

 

 

[

 

(

 

)]

 

(

 

)

q j

 

dt

q j

2

q j

2

Умножая полученные равенства на соответствующие величины масс точек mν и суммируя получаемые при этом соотношения по всем ν , получаем

3N

x

x

 

d

 

 

3N m x 2

 

 

3N

m x 2

mν

ν

 

 

(

 

 

ν

)

 

 

ν

q j

 

dt

q j ν 1

2

q j ν 1

2

ν 1

 

 

 

 

.Суммы, стоящие па правых частях равенств, равны кинетической энергии системы (по определению). Поэтому можно записать

 

 

 

3N

 

 

 

 

 

xν

 

 

d

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν 1 mν xν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν (

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

dt

 

q j

 

q j

 

 

 

 

 

 

Уравнения () при этом принимают вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

(

 

T

 

)

 

T

 

 

 

Qj , j

1,2,...,n

 

 

 

 

dt ν

 

q j

q j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа. 2

рода

 

 

 

В случае потенциальных сил, когда существует

такую функцию обобщенных координат

U(q

1 ,q2 ,...,qn ),что

 

 

 

 

 

 

Qj

 

 

 

 

 

U

, j

 

1,2,...,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

М1

 

 

 

 

 

 

такую

 

функцию называют потенциалом силового

поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямой путь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения Лагранжа 2 рода при этом преобразуются

к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окольный путь

 

 

 

 

 

d

(

 

 

T

)

 

T

 

 

U

, j 1,2,...,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М0

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

ν

q j

 

q j

 

 

q

j

 

В

 

 

 

 

 

 

этом случае удобно ввести в рассмотрение функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

 

 

 

 

 

 

(функцию Лагранжа)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

T

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

 

 

 

 

 

 

которой справедливы уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

(

 

 

L

)

 

L

0 , j

1,2,...,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

ν

q j

 

q j

 

 

 

 

 

 

Вариационный интегральный принцип Гамильтона-Остроградского

45

 

Принцип Гамильтона-Остроградского

(принцип стационарного действия)-

общий интегральный вариационный принцип классической механики, установлен в середине 19 века У.Гамильтоном для голономных систем, на которые наложены только идеальные стационарные связи и обобщен М. В. Остроградским на нестационарные связи. Введено понятие действия по Гамильтону

S

t1 L(q, q,t)dt

 

t0

Принцип Гамильтона-Остроградского

Действие по Гамильтону имеет стационарное значение для действительных перемещений системы (по прямым пулям) из начального положения в другое по сравнению с близкими кинематически возможными движениями (по окольным п утям), для которых начальное и конечное положения системы и время движения одинаковы с таковыми для действительного движения.

В большинстве случаев истинное движение доставляет функционалу S наименьшее значение. Поэтому принцип Гамильтона-Остроградского часто называют принципом наименьшего действия. Математически принцип Гамильтона-Остроградского формулируется так: для истинного движения при сформулированных выше условиях необходимо и достаточно, чтобы

S 0

или

t1 L( q,q,t )dt 0

 

 

t0

Это задача вариационного исчисления. Из теории вариационного исчисления следует, что для того , чтобы последнее условие выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы функции q( t ) удовлетворяли уравнениям Эйлера

L

 

d

(

L

) 0 , j 1,2,...,n ,

 

 

 

 

q j

 

dt

 

q j

и заданным начальным и конечным условиям.

Как видно, уравнения Эйлера совпадают с уравнениями Лагранжа 2 рода..

Важно отметить, что согласно

принципа

Гамильтона-

 

Остроградского достаточно минимизировать функцию

 

Гамильтона (функционал), для чего не обязательно решать

 

уравнения

Лагранжа 2 рода,

а можно

использовать

 

численные методы минимизации функционалов.

 

 

Движение абсолютно твердого тела с одной неподвижной

 

точкой.

 

 

 

 

Так как тело абсолютно твердое, то с ним можно связать

 

подвижное пространство, а с пим –подвижную систему

 

координат:

 

 

 

 

(ξ, η, ζ) – неподвижная система координат;

 

 

(x, y, z) – подвижная система координат; С – центр масс тела.

Рис.

46

Для изучения движения тела можно использовать как на подвижные, так и на неподви жные

оси.

Вектор (t) – мгновенная угловая скорость. Он выходит из начала координат. Его можно проецировать как на подвижные, так и на неподвижные оси.

Движение тела как систему материальных точек можно изучать, используя общие теоремы механики (теорема о движении центра масс, теорема о кинетическом моменте, теорема о кинетической энергии).

Кинетический момент абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой.

Принимаем неподвижную точку за начало подвижной системы координат Определим кинетический момент тела относительно неподвижной точки О. Будем его находить в проекциях на подвижные оси координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G xo

G yo

 

G zo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть масса к-той материальной точки тела равна mk

а радиус – вектор этой точки равен

 

 

rk , а

скорость этой точки равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vk . Согласно формуле Эйлера имеем

 

 

 

 

vk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Go

 

 

 

 

 

 

(mk vk )

 

 

 

 

(mk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk

 

 

rk

 

rk )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mk

 

(

 

 

 

 

 

[mk

 

 

(rk 2 ) mk

 

 

 

 

 

)] ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk

 

rk )

 

 

 

rk (rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2

 

 

y 2

z

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x xk

y yk

 

z zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gx - проекция вектора на ось Ox.

 

 

 

[m

 

(x 2

y 2

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

)

 

(

x

 

 

y

 

 

z

 

)]

 

 

r

 

 

 

z

k

 

 

O

 

k

 

k

k

 

k

 

 

 

k

x k

 

y k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

x

m (y 2

z 2

)

y

 

 

m x y

 

z

 

m x z

k

 

 

 

x

 

k

 

k

k

 

 

 

 

 

k k k

 

 

k k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

G

y

x

m y x

y

 

m (x

2

 

 

z 2 )

z

 

m y z

k

 

 

 

 

 

 

 

k k k

 

k

k

 

 

 

 

k

 

k k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

G

x

m z x

y

m z

y

k

z

m (x

2

y 2

)

 

 

 

 

 

 

z

 

 

k k k

k k

 

k

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

xx

 

m (y 2

z

2

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

yy

 

m (x 2

z

2

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

47

I

zz

m (x 2

y 2

);

 

 

 

 

 

 

k k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I xy

mk xk yk

I yx ;

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I xz

mk xk zk

I z x ;

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I yz

mk yk zk

I z y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

xx

m (y

2

z

2

)

 

 

 

 

 

k

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

yy

m (x

2

z

2

)

 

 

 

 

 

k

 

k

 

k

 

- осевые моменты инерции

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

zz

m (x

 

2

y

2

)

 

 

 

 

 

k

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I xy

mk xk yk

I yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I xz

mk xk zk

I zx

= центробежные моменты инерции

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I yz

mk yk zk

I zy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

Эти величины наряду с массой тела

M

mk

являются динамическими характеристиками

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

тела. Они образуют тензор инерции тела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I xx

 

 

I xy

 

I xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

I xy

 

I yy

 

I yz

 

 

 

 

 

 

I xz

 

 

I yz

 

I zz

I - тензор инерции. Он определяет инерционные свойства тела.

Формулы () свидетельствуют о том, что кинетический момент - вектор Go есть скалярное произведение тензора инерции тела на вектор угловой скорости:

Go I

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой.

По определению кинетической энергии:

48

 

 

 

T

1

 

 

 

m v

2

 

 

 

1

 

 

 

 

m v

 

(

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

k k

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

mk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk (vk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(rk

vk )

 

 

 

2

 

 

k

 

 

 

 

2

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m v

 

 

)

 

 

 

ω G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

Go

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисления дают

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

( I xx x

I yy

 

y

 

I zz z

 

2I xy x

 

 

 

y

2I xz x z

2I yz y z )

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знание кинетической энергии тела позволяет составить уравнения движения твердого тела.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Ограничимся частным случаем, когда. у тела есть еще одна неподвижная точка,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

С осью вращения связываем ось О z. Тогда .

(0,0,

)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0 ,

y

0 ,

 

z

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ixx

 

Ixy

 

Ixz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Go I

 

 

 

 

 

 

Ixy

I yy

 

I yz

(0,0, )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ixz

 

I yz

Izz

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ixz , I yz , Izz )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

Go

 

(0,0,

) (

I xz ,

I yz , I zz )

 

 

I zz

 

 

 

 

2

 

2

2

(t )

Уравнение Лагранжа 2 рода для случая движения абсолютно твердого тела с двумя неподвижными точками.

Введем систему координат и обобщенную координату Q1

,которая определяет

вращательную степень свободы. Оси ζ и z совпадают по построению.

 

49

 

 

T

 

 

1

I

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщенная координата одна qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение Лагранжа 2 рода в рассматриваемом случае принимает вид:

 

 

 

d

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

Q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

q1

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщенная сила определяется коэффициентом, который стоит в выражении для

 

виртуальной работы, которая совершается на соответствующем возможном перемещении

:

 

 

A

M z

 

 

 

 

 

Qi

 

M z

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z

- сумма моментов относительно оси Oz всех сил, действующих на тело ,

 

Q1 - обобщенная сила.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

0,i

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

T

 

Izz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

(

 

 

 

T

)

 

d

(I

 

)

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zz

zz

 

 

 

 

dt

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

уравнение Лагранжа 2 рода для описания вращения движения тела вокруг неподвижной

оси имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I zz

 

M z

 

 

 

 

 

 

Если на тело не действуют силы, создающие момент относительно оси его вращения, или

 

моменты этих сил уравновешены, то M z

0 . В этих случаях тело вращается по инерции, с

 

d

постоянной угловой скоростью const . Такое явление имеет место для планет и их dt

спутников.

Законы сохранения

1. Закон сохранения количества движения

 

n

 

 

 

 

 

Если

 

F

е 0 , то

Q

const ,

v const

 

 

k

C

k1

2.Закон сохранения момента количества движения

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

 

 

F

е

0 , то

G const

r

 

 

k

k

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Закон сохранения энергии

Интеграл энергии

Если внутренние и внешние силы потенциальные, то имеют место равенства

50

3 N

Х е

3 N

U е

 

 

dU е ,

3N

Х i

 

3 N

U i

 

dU i

 

k

хk ,

k

 

k

 

хk ,

k

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

k 1

 

 

k 1

 

 

 

Равенство () принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dT

 

dU е U i )

 

 

 

 

 

 

 

которое можно записать так

d(T U) 0

Следовательно, при движении механической системы в поле потенциальных сил, на нее действующих, выполняется закон сохранения полной механической энергии системы

T V const

Основная литература

1.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М., т. 1 - 1965, 465 с., т. 11 -1966,

332 с.

2.2. Суслов Г.К. Теоретическая механика, М; Л. 1946, 655 с.

.