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.pdf
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dx |
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2 |
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x4dx |
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7.27. ∫ |
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7.28. ∫ |
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. |
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(4 + x2 ) |
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(4 − x2 ) |
3 2 |
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0 |
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4 + x2 |
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0 |
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1 |
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2 |
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dx |
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1 |
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x2dx |
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7.29. |
∫ |
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. |
7.30. ∫ |
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. |
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1 − x2 |
) |
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1 − x2 |
4 − x2 |
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0 |
( |
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0 |
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Задача 8. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками |
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функций. |
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y = ( x − 2)3 , |
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y = x |
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|
, y = 0, |
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9 − x2 |
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8.1. y = 4x − 8. |
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8.2. |
(0 ≤ x ≤ 3). |
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|||||||||||||||||||||
y = 4 − x2 , |
|
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y = sin x cos2 x, |
y = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||
8.3. y = x2 − 2x. |
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|
8.4. (0 ≤ x ≤ π 2). |
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y = x2 |
|
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|
, y = 0, |
||||||||||||||||||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
, y = 0, |
|
4 − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 − x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.5. x = 0, |
|
x = 1. |
|
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|
|
8.6. |
(0 ≤ x ≤ 2). |
|
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||||||||||||||||||||||||||
y = cos x sin2 x, |
y = 0, |
|
y = |
|
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|
|
|
|
|
y = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ex −1, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.7. (0 ≤ x ≤ π 2). |
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|
8.8. |
x = ln 2. |
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y = |
|
|
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|
1 |
|
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|
|
, |
|
y = 0, |
8.10. y = arccos x, |
y = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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8.9. |
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|
1 + ln x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 1, |
|
x = e3 . |
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|
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|
x = 0. |
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||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
y = ( x + 1)2 , |
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|
y = 2x − x2 + 3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.11. |
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8.12. |
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|
y2 = x + 1. |
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|
y = x2 − 4x + 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y = x |
|
|
|
|
, |
y = 0, |
|
x = arccos y, |
x = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
36 − x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.13. (0 ≤ x ≤ 6). |
|
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|
8.14. y = 0. |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
y = x2 |
|
|
|
, |
y = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y = arctg x, |
|
|
|
y = 0, |
|
8 − x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.15. x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
8.16. (0 ≤ x ≤ 2 |
|
|
). |
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||||||||||||||||||||||||
3. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
51

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|
|
y = x 4 - x2 , y = 0, |
|||||||||
8.17. |
x = ey -1, x = 0, |
8.18. |
|||||||||||||||||||
y = ln 2. |
|
|
|
|
|
(0 £ x £ 2). |
|
||||||||||||||
8.19. y = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
= 0, |
8.20. y = |
|
|
1 |
|
, y = 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
|||||||||||
1 + |
|
|
|
|
1 + cos x |
||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
x =1. |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
x = π 2, x = -π 2. |
||||||||
|
x = ( y - 2)3 , |
|
|
|
|
|
|
y = cos5 x sin 2x, y = 0, |
|||||||||||||
8.21. |
x = 4 y - 8. |
|
|
|
|
|
8.22. (0 £ x £ π 2). |
||||||||||||||
8.23. y = |
|
|
|
|
x |
, |
|
|
|
y = 0, |
8.24. x = 4 - y2 , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(x2 +1)2 |
|
||||||||||||||||||||
|
x =1. |
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|
x = y2 - 2 y. |
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|||||||
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||||
|
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|
1 |
|
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|
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|
|
|
|
1 x |
|
|
|
||||
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x = 0, |
8.26. y = |
e |
, y |
= 0, |
||||
|
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|
|
|
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
8.25. |
|
|
y |
1 + ln y |
|
x2 |
|||||||||||||||
|
y =1, y = e3 . |
|
|
x = 2, x =1. |
|||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||
|
y = x2 16 - x2 , y = 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.27. |
8.28. |
x = 4 - y2 , x = 0, |
|||||||||||||||||||
(0 £ x £ 4). |
|
|
|
|
|
y = 0, |
y =1. |
||||||||||||||
|
y = ( x -1)2 , |
|
|
|
|
|
|
y = x2 cos x, |
y = 0, |
||||||||||||
8.29. y2 = x -1. |
|
|
|
|
|
8.30. (0 £ x £ π 2). |
Задача 9. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями,
заданными уравнениями.
=
9.1.y = 22 sin3 t,
x= 2 ( x ³ 2).2 cos34 t,x
|
x = 4 |
(t - sin t ), |
|
|
(1 - cost ), |
9.3. |
|
|
y = 4 |
||
|
|
|
y = 4 (0 < x < 8π , y ³ 4).
x
9.2. y y
x
9.4. y x
=2 cost,
=22 sin t,
=2 ( y ³ 2).
=16cos3 t,
=2sin3 t,
=2 ( x ³ 2).
52

x = 2cos t, |
|
|
|
|
|
9.5. y = 6sin t, |
|
|
y = 3 ( y ³ 3). |
||
|
3 |
t, |
x =16cos |
|
|
|
|
|
y = sin3 t, |
|
|
9.7. |
|
|
x = 63 (x ³ 6
3 ).
( )
x = 3 t - sin t ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.9. y = 3(1 - cost ), |
|||||||||||
|
y = 3 (0 < x < 6π , y ³ 3). |
||||||||||
|
|||||||||||
|
x = 6 |
(t - sin t ), |
|||||||||
|
|
(1 - cos t ), |
|||||||||
9.11. |
|
||||||||||
y = 6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 9 (0 < x <12π , y ³ 9). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
|
x = 32cos |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.13. y = sin3 t, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4 ( x ³ 4). |
||||||||||
|
x = 6 |
(t - sin t ), |
|||||||||
|
|
(1 - cost ), |
|||||||||
9.15. |
|
||||||||||
y = 6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 6 (0 < x <12π , y ³ 6). |
||||||||||
|
x =10 |
(t - sin t ), |
|||||||||
|
|
|
|
(1 - cost ), |
|||||||
9.17. |
|
|
|
||||||||
y =10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =15 (0 < x < 20π , y ³15). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 cos |
t, |
||||||
|
x = 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin3 t, |
|
||||||||
9.19. y = |
|
|
|||||||||
|
|
|
( x ³1). |
||||||||
|
x =1 |
|
x = 2 |
(t - sin t ), |
||||||||||||
|
|
(1 - cost ), |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
9.6. y = 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3 (0 < x < 4π , y ³ 3). |
|||||||||||||
x = 6cost, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.8. y = 2sin t, |
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
|
|
|
|
( y ³ |
|
). |
|||||
|
3 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
t, |
||||||||
x = 8 |
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin3 t, |
|||||||||||
9.10. y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( x ³ 4). |
||||||||
x = 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cost, |
|||||||||
x = 2 |
|
|
|||||||||||
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.12. y |
|
|
2 sin t, |
||||||||||
|
|
|
|
( y ³ 3). |
|||||||||
y = 3 |
|
||||||||||||
x = 3cos t, |
|
|
|
|
|||||||||
|
= 8sin t, |
|
|
|
|
||||||||
9.14. y |
|
|
|
|
|||||||||
y = 4 ( y ³ 4). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
|
|
x = 8cos |
|
|
|
|
|
||||||||
|
= 4sin3 t, |
|
|
|
|
||||||||
y |
|
|
|
|
|||||||||
9.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 33 (x ³ 3
3 ).
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|||
x = 6cos |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4sin3 t, |
||||||||||
9.18. |
|
|
|
|
(x ³ 2 |
|
). |
|||
x = 2 |
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cost, |
||||||||||
x = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin t, |
||||||||
9.20. y = 4 |
|
|
||||||||
|
|
( y ³ 4). |
||||||||
y = 4 |
|
53

|
x = t - sin t, |
|||||||||
|
|
- cost, |
||||||||
9.21. y =1 |
||||||||||
|
y =1 (0 < x < 2π , y ³1). |
|||||||||
|
x = 8(t - sin t ) , |
|||||||||
|
|
(1 - cost ), |
||||||||
9.23. |
|
|||||||||
y = 8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =12 (0 < x <16π , y ³12). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
||
|
x = 24 cos |
|
||||||||
9.25. y = 2sin3 t, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(x ³ 9 |
|
). |
||
|
x = 9 |
|
|
|
|
|||||
|
3 |
3 |
||||||||
|
x = 2 |
(t - sin t ), |
||||||||
|
|
(1 - cost ), |
||||||||
9.27. |
|
|||||||||
y = 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 (0 < x < 4π , y ³ 2). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cost, |
|||||||
|
x = 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin t, |
|||||||
9.29. y = 5 |
|
|
||||||||
|
|
|
( y ³ 5). |
|||||||
|
y = 5 |
|
x = 8cos3 t,
9.22. y = 8sin3 t,
x =1 ( x ³1).
|
x = 9cost, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.24. y = 4sin t, |
|
|
|
|
||||||||
|
y = 2 ( y ³ 2). |
|||||||||||
|
x = 3cost, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.26. y = 8sin t, |
|
|
|
|
||||||||
|
y = 4 |
|
|
|
|
( y ³ 4 |
|
). |
||||
|
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
t, |
|||||||
|
x = 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.28. y = |
|
2 sin3 t, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( x ³ 2). |
||||||||
|
x = 2 |
|
|
|||||||||
|
x = 4 |
(t - sin t ), |
||||||||||
|
|
(1 - cost ), |
||||||||||
9.30. |
|
|||||||||||
y = 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 6 (0 < x < 8π , y ³ 6).
Задача 10. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями,
заданными в полярных координатах.
10.1. r = |
4cos3ϕ, |
r = 2 |
(r ³ 2). |
10.2. r = cos 2ϕ. |
||||
r = |
|
|
cosϕ, |
r = sinϕ, |
|
|||
|
3 |
10.4. r = 4sin 3ϕ, r = 2 (r ³ 2). |
||||||
10.3. |
(0 |
£ |
ϕ £ π |
2). |
||||
|
|
|||||||
r = 2cosϕ, |
|
r = 2 |
|
sinϕ, |
|
|||
|
3 |
10.6. r = sin 3ϕ. |
||||||
10.5. |
(0 |
£ |
ϕ £ π |
2). |
||||
|
|
|||||||
10.7. r = 6sin 3ϕ, |
r = 3 |
(r ³ 3). |
10.8. r = cos3ϕ. |
54

r = cosϕ, r = |
|
sin (ϕ - π 4), |
r = sinϕ, r = |
|
cos(ϕ - π 4), |
|
2 |
2 |
|||||
10.9. (-π 4 £ ϕ £ π 2). |
|
10.10. (0 £ ϕ £ 3π 4). |
||||
10.11. r = 6cos3ϕ, |
r = |
3 (r ³ 3). |
10.12. r = 1 2 + sinϕ. |
10.13. r = cosϕ, |
r = sinϕ, |
|||
(0 £ ϕ £ π 2). |
|
|||
10.15. r = cosϕ, |
r = 2cosϕ. |
|||
10.17. r =1 + |
|
cosϕ. |
|
|
2 |
|
|||
10.19. r = (5 2)sinϕ, |
r = (3 2)sinϕ. |
|||
10.21. r = (3 2)cosϕ, |
r = (5 2)cosϕ. |
|||
10.23. r = sin 6ϕ. |
|
|
||
10.25. r = cosϕ + sinϕ. |
|
|||
10.27. r = 2cos 6ϕ. |
|
|||
10.29. r = 3sinϕ, |
r = 5sinϕ. |
10.14. r = 6sinϕ, r = 4sinϕ.
10.16. r = sinϕ, r = 2sinϕ.
10.18. r = 12 + cosϕ.
10.20. r =1 + 2 sinϕ.
10.22. r = 4cos 4ϕ.
10.24. r = 2cosϕ, r = 3cosϕ.
10.26. r = 2sin 4ϕ.
10.28. r = cosϕ − sinϕ.
10.30. r = 2sinϕ, r = 4sinϕ.
Задача 11. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.
11.1. y = ln x, |
|
3 |
|
£ x £ |
15. |
|
|
||||||||||
11.2. y = |
x2 |
|
- |
|
ln x |
, 1 £ x £ 2. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11.3. y = 1 - x2 |
+ arcsin x, |
|
0 £ x £ 7 9. |
||||||||||||||
11.4. y = ln |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
£ x £ |
|
|
||||||
, |
|
|
|
|
|
3 |
8. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55

11.5. y = − ln cos x, |
|
|
|
0 ≤ x ≤ π 6. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
11.6. y = ex + 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ x ≤ ln |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
|
|
8 |
15. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11.7. y = 2 + arcsin |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 4 ≤ x ≤ 1. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.8. y = ln |
( |
x2 − |
) |
|
|
|
|
|
|
2 ≤ x ≤ 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
11.9. y = |
|
|
|
|
+ arccos x, |
0 ≤ x ≤ 8 9. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
, |
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1 4. |
|
|
||||||||||||||||||||
11.10. y = ln 1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
11.11. y = 2 + ch x, |
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
11.12. y = 1 − ln cos x, |
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ π 6. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11.13. y = ex + 13, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ x ≤ ln |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ln |
|
|
15 |
24. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.14. y = − arccos |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
0 ≤ x ≤ 1 4. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11.15. y = 2 − ex , |
|
|
|
|
|
|
|
≤ x ≤ ln |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
|
|
3 |
8. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
11.16. y = arcsin x − |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0 ≤ x ≤ 15 16. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.17. y = 1 − ln sin x, |
|
|
|
|
π 3 ≤ x ≤ π 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.18. y = |
1 − ln |
( |
x2 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
3 ≤ x ≤ 4. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
−1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11.19. y = |
|
|
|
|
|
− arccos |
|
+ 5, |
1 9 ≤ x ≤ 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.20. y = |
1 − ex − e− x |
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.21. y = ln sin x, |
|
π 3 ≤ x ≤ π 2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.22. y = ln 7 − ln x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ x ≤ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
8. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11.23. y = ch x + 3, |
|
|
0 ≤ x ≤ 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11.24. y = 1 + arcsin x − |
|
|
, |
0 ≤ x ≤ 3 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.25. y = ln cos x + 2, |
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ π 6. |
56

11.26. y = ex + 26, |
|
|
|
|
|
|
|
≤ x ≤ ln |
|
|
|
|
|||
|
ln |
|
8 |
|
24. |
||||||||||
11.27. y = |
ex + e− x |
+ 3, |
|
|
0 ≤ x ≤ 2. |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.28. y = arccos |
|
|
− |
|
|
|
+ 4, |
|
0 ≤ x ≤ 1 2. |
||||||
|
|
|
|
x − x2 |
|||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||
11.29. y = |
ex + e− x |
+ 3 |
|
0 ≤ x ≤ 2. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.30. y = ex + e, |
|
|
≤ x ≤ ln |
|
|
|
|
||||||||
ln |
3 |
15. |
|
|
|||||||||||
Задача 12. |
Вычислить |
|
длины дуг кривых, заданных |
параметрическими уравнениями.
|
x = 5(t − sin t ), |
|
|
|
|
12.1. |
|
(1 − cos t ), |
y = 5 |
||
|
|
0 ≤ t ≤ π . |
|
|
|
|
x = 4 |
(cost + t sin t ), |
|
|
|
12.3. |
|
(sin t − t cost ), |
y = 4 |
||
|
|
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x = 10cos t, |
|
|
|
|
12.5. y = 10sin3 t, |
||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 2. |
|
|
x = 3(t − sin t ), |
|
|
|
|
12.7. |
|
|
y = 3(1 − cost ), |
||
|
|
|
|
π ≤ t ≤ 2π . |
|
|
x = 3(cost + t sin t ), |
|
|
|
|
12.9. |
|
|
y = 3(sin t − t cos t ), |
||
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 3.
|
x = 3(2cost − cos 2t ), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3(2sin t − sin 2t ), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 2π . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x = (t |
− 2)sin t + 2t cost, |
||||||||
|
|
|||||||||
12.4. |
|
(2 − t2 )cost + 2t sin t, |
||||||||
y = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
(cost + sin t ), |
|||||||
|
x = e |
|||||||||
12.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = et (cos t − sin t ), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
x = |
|
cost − |
|
|
|
cos 2t, |
|||
|
2 |
4 |
||||||||
12.8. |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = |
|
|
sin t − |
|
|
|
sin 2t, |
||
|
2 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
π 2 ≤ t ≤ 2π 3. |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x = (t |
− 2)sin t + 2t cost, |
||||||||
|
|
12.10. |
|
− t2 )cost + 2t sin t, |
y = (2 |
||
|
|
|
0 ≤ t ≤ π .
57

|
|
|
|
3 |
|
|
x = 6cos |
t, |
|||
|
|
||||
|
|
= 6sin3 t, |
|||
12.11. y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 3. |
||||
|
x = 2,5(t − sin t ), |
||||
|
|
|
|
|
|
12.13. |
|
= 2,5(1 − cost ), |
|||
y |
|||||
|
|
|
π 2 ≤ t ≤ π . |
||
|
|
|
|||
|
x = 6(cost + t sin t ), |
||||
|
|
|
|
|
|
12.15. |
|
= 6(sin t − t cost ), |
|||
y |
|||||
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π . |
|
|
|
|
|
|
|
x = 8cos3 t, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8sin3 t, |
|||
12.17. y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 6. |
||||
|
x = 4 |
(t − sin t ), |
|||
|
|
|
|
|
|
12.19. |
|
= 4 |
(1 − cos t ), |
||
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π 2 ≤ t ≤ 2π 3. |
||||
|
x = 8(cost + t sin t ), |
||||
|
|
|
|
|
|
12.21. |
|
= 8 |
(sin t − t cost ), |
||
y |
|||||
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 4. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
= 4cos t, |
||||
|
x |
||||
|
|
= 4sin3 t, |
|||
12.23. y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π 6 ≤ t ≤ π 4. |
||||
|
x = 2 |
(t − sin t ), |
|||
|
|
|
|
|
|
12.25. |
|
= 2 |
(1 − cos t ), |
||
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 2.
|
|
t |
(cost + sin t ), |
|
|
x = e |
|||
12.12. |
|
|
|
|
y = et (cos t − sin t ), |
||||
|
|
|
|
π 2 ≤ t ≤ π . |
|
|
|
|
|
|
x = 3,5(2cos t − cos 2t ), |
|||
|
|
|
|
|
12.14. |
|
|
|
|
y = 3,5(2sin t − sin 2t ), |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x = (t |
− 2)sin t + 2t cost, |
||
|
|
|||
12.16. |
|
|
|
|
y = (2 − t2 )cost + 2t sin t, |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 2. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
(cost + sin t ), |
|
|
x = e |
|||
12.18. |
|
|
|
|
y = et (cos t − sin t ), |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
|
|
|
|
x = 2(2cost − cos 2t ), |
|||
|
|
|
|
|
12.20. |
|
|
(2sin t − sin 2t ), |
|
y = 2 |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x = (t |
− 2)sin t + 2t cost, |
||
|
|
|||
12.22. |
|
|
|
|
y = (2 − t2 )cost + 2t sin t, |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
t |
(cost + sin t ), |
|
|
x = e |
|||
12.24. |
|
|
|
|
y = et (cos t − sin t ), |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 3π 2. |
|
|
|
|
|
|
x = 4(2cost − cos 2t ), |
|||
|
|
|
|
|
12.26. |
|
|
(2sin t − sin 2t ), |
|
y = 4 |
||||
|
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ π .
58

|
x = 2 |
(cost + t sin t ), |
|
|
|
12.27. |
|
(sin t − t cost ), |
y = 2 |
0 ≤ t ≤ π 2.
x = 2cos3 t,
12.29. y = 2sin3 t, 0 ≤ t ≤ π 4.
|
|
|
2 |
|
|
x = (t |
− 2)sin t + 2t cost, |
||
|
|
|||
12.28. |
|
|
|
|
y = (2 − t2 )cost + 2t sin t, |
||||
|
|
|
|
0 ≤ t ≤ 3π . |
|
|
|
|
|
|
|
t |
(cost + sin t ), |
|
|
x = e |
|||
12.30. |
|
|
|
|
y = et (cos t − sin t ), |
||||
|
|
|
|
|
π 6 ≤ t ≤ π
4.
Задача 13. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
13.1.ρ = 3e3ϕ 4 , − π
2 ≤ ϕ ≤ π
2.
13.2.ρ = 2e4ϕ 3 , − π
2 ≤ ϕ ≤ π
2.
13.3.ρ = 2 eϕ , − π
2 ≤ ϕ ≤ π
2.
13.4.ρ = 5e5ϕ 12 , − π
2 ≤ ϕ ≤ π
2.
13.5.ρ = 6e12ϕ 5 , − π
2 ≤ ϕ ≤ π
2.
13.6. ρ = 3e3ϕ 4 , |
0 ≤ ϕ ≤ π 3. |
||
13.7. ρ = 4e4ϕ 3 , |
0 ≤ ϕ ≤ π 3. |
||
13.8. ρ = |
|
eϕ , |
0 ≤ ϕ ≤ π 3. |
2 |
|||
13.9. ρ = 5e5ϕ 12 , |
0 ≤ ϕ ≤ π 3. |
13.10. ρ = 12e12ϕ 5 , 0 ≤ ϕ ≤ π
3.
13.11.ρ = 1 − sinϕ, − π 2 ≤ ϕ ≤ −π
6.
13.12.ρ = 2(1 − cosϕ ), − π ≤ ϕ ≤ −π 2.
13.13. ρ = 3(1 + sinϕ ), |
− π 6 ≤ ϕ ≤ 0. |
13.14. ρ = 4(1 − sinϕ ), |
0 ≤ ϕ ≤ π 6. |
13.15. ρ = 5(1 − cosϕ ), |
− π 3 ≤ ϕ ≤ 0. |
13.16. ρ = 6(1 + sinϕ ), |
− π 2 ≤ ϕ ≤ 0. |
59

13.17. |
ρ = 7(1 - sinϕ ), |
- π 6 £ ϕ £ π 6. |
13.18. |
ρ = 8(1 - cosϕ ), |
- 2π 3 £ ϕ £ 0. |
13.19.ρ = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 34.
13.20.ρ = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 43.
13.21.ρ = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 512.
13.22.ρ = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 125.
13.23.ρ = 4ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 34.
13.24.ρ = 3ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 43.
13.25.ρ = 5ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 125.
13.26. ρ = 2cosϕ, |
0 ≤ ϕ ≤ π 6. |
||||||
13.27. ρ = 8cosϕ, |
0 ≤ ϕ ≤ π 4. |
||||||
13.28. ρ = 6cosϕ, |
0 ≤ ϕ ≤ π 3. |
||||||
13.29. ρ = 2sinϕ, |
0 ≤ ϕ ≤ π 6. |
||||||
13.30. ρ = 8sinϕ, |
0 ≤ ϕ ≤ π 4. |
||||||
|
Задача 14. Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями. |
||||||
14.1. |
x2 |
+ y2 =1, |
z = y, z = 0 ( y ³ 0). |
||||
|
|||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
14.2. z = x2 + 4 y2 , |
z = 2. |
||||||
14.3. |
x2 |
+ |
y2 |
- z2 =1, z = 0, z = 3. |
|||
|
|
||||||
9 |
4 |
|
|
|
|
||
14.4. |
x2 |
+ |
y2 |
- |
|
z2 |
= -1, z =12. |
|
|
|
|
||||
9 |
4 |
36 |
|
||||
14.5. |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1, z =1, z = 0. |
|
|
|
|
|||||
16 |
9 |
4 |
|
||||
14.6. x2 + y2 = 9, |
z = y, z = 0 ( y ³ 0). |
60