oin
.pdf
При a = b = c полученная формула для объёма эллипсоида
преобразуется в формулу для объёма шара V = 4 π a3 . 3
7.12. Найти объём, общий двум цилиндрам: x2 + y2 = a2 и y2 + z2 = a2 , ограниченный данными цилиндрическими поверхностями.
Рис. 22
Решение. Построим восьмую часть тела, расположенную в первом октанте, рис. 22.
Любое сечение тела плоскостью, параллельной плоскости xOz , представляет квадрат. Площадь сечения PQNM, отстоящего от плоскости xOz на расстоянии OM = h , найдём как площадь квадрата со
|
|
|
S (h) = a2 − h2 ,0 ≤ h ≤ a. Весь искомый |
|||||
стороной MP = MN = a2 − h2 ; |
||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
||
объём, согласно формуле V = ∫S ( x)dx , выразится интегралом |
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
||
V = 8∫a (a2 − h2 )dh = 8 a2h − |
h3 |
|0a = |
16 |
a3 . |
||||
3 |
3 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
||||
7.13. Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: 1) y2 = 2 px , x = a вокруг оси Ox .
Рис. 23
31
Решение. 1) Построив параболу y2 = 2 px и прямую x = a ,
получим параболический сегмент OAB , рис.23. При вращении его вокруг оси образуется сегмент параболоида вращения. Объём этого тела, согласно общим указаниям, найдём по формуле:
x2 |
a |
V = π ∫y2dx = π ∫2 px dx = π px2 |0a = π pa2 .
x1 0
7.14. |
Вычислить длину |
дуги |
1) полукубической |
параболы |
||||||||
y2 = (x -1)3 |
между точками A(2;-1) и B (5; -8). |
|
|
|||||||||
Решение. Разрешаем |
данное |
уравнение |
относительно y и |
|||||||||
найдём y¢ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
y = ±(x -1) |
|
, y '= ± |
(x - 1) |
|
. (Знаки ± в выражении y указывают, |
|||||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
Ox ; точки |
A и B , |
|
|||||
что кривая симметрична |
оси |
имеющие |
||||||||||
отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси Ox .)
|
|
|
xB |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
LAB = ∫ |
1 + ( y')2 dx = ∫ |
1 + |
( x -1)dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
xA |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|||||||
= |
∫ |
|
|
dx = |
∫ |
|
|
) |
|
d (9x - 5) = |
(9x - 5) |
|
|5 |
|
||||||||||
|
9x - 5 |
( |
9x - 5 |
»7,63 . |
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.15. Найти площадь поверхности шара радиуса R .
Решение. Можно считать, что поверхность шара образована
вращением полуокружности |
y = R2 − x2 , -R £ x £ R вокруг оси Ox . |
||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле |
Sx = 2π ∫ y × |
1 + ( y¢)2 |
dx , |
|
|
где |
y = f (x) ³ 0 – кривая, |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вращающаяся вокруг оси Ox , находим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
-x |
|
2 |
|
R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S = 2π ∫ |
R2 - x2 × 1 + |
|
dx = 2π ∫ |
R2 - x2 + x2 |
dx = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
R2 - x2 |
||||||||||||||
− R |
|
|
|
|
|
|
|
|
− R |
||||||
= 2π R × x −RR = 4π R2 .
32
7.16. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение. По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину,
пропорциональна этому |
растяжению |
x , т. |
е. |
|
F = kx , где |
k – |
||||
коэффициент пропорциональности. |
Согласно |
условию задачи, |
сила |
|||||||
F = 100Н растягивает |
пружину |
на |
x = 0,01м, |
следовательно, |
||||||
100 = k × 0,01, откуда k = 1000 , следовательно, F = 1000x . |
|
|||||||||
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая работа равна A = ∫ 10000xdx = 5000x |
2 |
|
|
0,05 |
= 12,5( Дж) . |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.17. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала |
||||||||||
движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/c). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, |
пройденный телом от |
|||||||||
начала движения ( t = 0 ) до конца 4-й секунды, равен
4
S = ∫(10t + 2)dt = (5t 2 + 2t) 04 = 88( м) .
0
7.18. Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
|
Рис. 24 |
|
|
|
|
|
Решение. Величина p давления |
жидкости |
на |
горизонтальную |
|||
площадку зависит от глубины её погружения x , |
т. е. |
от расстояния |
||||
площадки до |
поверхности жидкости: |
p = δ ax ; |
δ |
– |
удельный |
вес |
жидкости, a − |
площадь площадки. |
|
|
|
|
|
Руководствуясь общей схемой II применения определённого |
||||||
интеграла к |
исчислению величин, разделим шлюз |
|
на глубине |
x |
||
33
горизонтальной прямой. Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет некоторой функцией p(x) . Найдём дифференциал dp этой
функции, т. е. приближённую величину (главную часть) её приращения p при изменении глубины x , на малую величинуdx . Допустим, ввиду
малости dx , что все точки заштрихованной полоски находятся на глубине x , т. е. что она расположена на глубине x в горизонтальной плоскости. Тогда приближенная величина давления воды на эту полоску будет равна весу столба воды, имеющего основанием эту полоску, и
высотой − |
глубину |
x : |
p ≈ dp = 18δ xdx = 18xdx (удельный вес воды |
|||
δ = 1). Согласно условию |
задачи глубина |
x |
изменяется на |
отрезке |
||
0 ≤ x ≤ 6 . |
Поэтому |
искомое давление P |
на |
весь шлюз |
найдём, |
|
интегрируя dp в пределах от 0 до 6:
6
P =18∫x dx = 9x2 |60 = 324T » 324000 ×9,81н » 3178440н » 3,18Мн.
0
7.19. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой H=6 м. и радиусом основания R=1 м. Удельный вес масла δ = 0.9 .
Решение. Величина работы q , затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты x его подъёма: q = Px , P − вес
тела.
Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною x , рис. 25, есть некоторая функция q(x) и найдём
дифференциал этой функции.
Рис. 25
34
При увеличении x на величину dx объем v слоя масла
увеличится на величину |
v = π R2dx , его вес |
p увеличится на величину |
||||||||||||||||||
p = π R2dx , а |
затраченная |
|
работа |
|
q |
увеличится на |
величину |
|||||||||||||
q ≈ πδ R2 xdx = dq . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Всю искомую работу Q получим при изменении x |
от 0 до H. |
|||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|0H = πδ R |
H |
≈ 64800π ≈ 64800 * 9.81π (дж) |
|||||||||
Q = πδ R2 ∫xdx = πδ R2 x |
2 |
|||||||||||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 635688π (дж). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.20. Найти следующие несобственные интегралы: |
|
|||||||||||||||||||
+∞ |
+∞ |
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
2 |
|
dx |
|
|
|
||||
1) ∫e− x dx; 2) ∫ |
|
|
|
|
; 3) |
∫ |
|
|
; 4) |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 (x −1)2 |
|
||||||||||||||
0 |
−∞ x |
|
+ 1 |
|
|
|
0 |
|
x |
−1 |
|
|
|
|||||||
Решение. |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(−e− x ) |0β = lim(e0 − e− β ) = 1. |
|
|||||||||||
1) ∫e− xdx = βlim→+∞ ∫e− xdx = lim |
|
|||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится. |
||||||||||||||||||||
Геометрически, |
в прямоугольной |
системе |
|
координат, всякий |
||||||||||||||||
a
определённый интеграл ∫ f (x)dx даёт алгебраическую сумму площадей,
b
ограниченных кривой y = f (x) , двумя вертикальными прямыми x = a , x = b и осью Ox . Поэтому, построив кривую y = e− x и её ординаты в точках x = 0 и x = β (рис. 26), получим криволинейную трапецию
β
0ABβ , площадь которой S (β ) = ∫e− x dx = 1 − e− β .
0
При β → ∞ получим трапецию с бесконечным основанием,
которая имеет конечную площадь S (= ∞) = lim S (β ) = 1.
β →∞
Рис. 26
35
1) |
Пользуясь определением, получим |
|
|||||||||||
+∞ |
dx |
0 |
dx |
β |
|
dx |
= lim arctg x |α0 + lim arctgx |0β = |
||||||
−∞∫ |
αlim→−∞ α∫ |
+ βlim→+∞ ∫0 |
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
||||||||
x2 + 1 |
x2 + 1 |
x2 + 1 |
|||||||||||
= −arctg ( |
|
|
|
|
|
− |
π |
|
π |
= π . |
|||
−∞) + arctg (+∞) = − |
2 |
|
+ |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 27 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Геометрически (рис. 27) интеграл от функции |
f ( x) = |
|
в |
x2 + 1 |
|||
пределах от α до β выражает площадь криволинейной трапеции α ABβ , а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину π .
3) Здесь при |
x = 0 подынтегральная функция |
1 |
имеет бесконечный |
|||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
разрыв. Согласно определению |
|
|||||||
1 |
dx |
= lim |
1 |
dx |
= lim ln x |1ε = lim (ln1 − ln ε ) = − ln 0 = +∞, |
|||
∫0 |
|
|
||||||
x ε →+0 |
∫ε x |
|
||||||
т.е. этот несобственный интеграл расходится.
Геометрически (рис.28) полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции ε ABβ
1
S (ε ) = ∫ dx = − ln ε
ε x
При ε → +0 неограниченно возрастает.
36
Рис. 28
4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке x = 1, лежащей внутри отрезка интегрирования [−1;2] . Согласно
определению
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−ε1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
+ lim |
∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
−1 |
3 (x − |
1)2 |
|
|
ε1 →+0 |
−1 |
3 (x |
|
−1)2 |
|
ε |
2 →+0 |
1+ε2 |
|
3 (x −1)2 |
|
||||||||||||||||||||||
= lim33 |
|
|
|
|
|1−−1ε1 + lim33 |
|
|
|12+ε1 |
= 3lim |
( 3 |
|
|
|
− 3 |
|
) + |
|
|||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
x −1 |
−ε1 |
−2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
+3lim ( 3 |
|
− 3 |
|
) = 3( 3 |
|
+ 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
ε2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Для графика подынтегральной функции |
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(рис.29) |
прямая |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 (x −1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x = 1 является вертикальной асимптотой.
Рис. 29
Интегралы от этой функции в пределах от −1 до 1 − ε1 и от 1+ ε2 до 2 выражают площади криволинейных трапеций α APε и nQBβ . При ε1 → +0 и ε 2 → +0 эти трапеции неограниченно простираются вверх и
вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла.
37
8. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вычислить интегралы:
|
5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1. |
(ЭГГ) ∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
3x − 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
dz |
|
|
|
||||||||||
8.2. |
(ФЖШ) ∫ |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2z + 1)3 |
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||
8.3. |
(ЛПБ) ∫ |
|
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t 2 + 5t + 4 |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x + 3 |
|
|
|
|||||||||||
8.4. |
(ЖМД) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|||||||||
x2 |
+ 4 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
8.5. |
(ЮШМ) ∫ x cos |
dx ; |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
−a |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
π |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|||
8.6. |
(ЮМФ) ∫cos |
cos |
|
dx ; |
||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.7. |
*(ЮШБ) ∫ x sin x cos xdx ; |
|||||||||||||||||
−π
e
8.8.(КБД) ∫(1 + ln y)2 dy ;
1
1 |
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
8.9. (ДБА) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановка x + 1 |
= z ; |
|
|||||
|
(x + 1)4 |
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t. |
||||
8.10. (ПКФ) ∫ |
|
|
|
ex − 1 |
dx подстановка |
ex −1 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
|
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
||||
8.11. (ЦЮЦ) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановка z = x2 |
+ 1; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 (x2 + 1)2 |
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3
8.12. (ЛЖФ) ∫x2 
9 − x2 dx подстановка x = 3cosϕ ;
−3
1
8.13. (КФЭ) ∫ tdt ;
5 
5 + 4t
π
4 1 + tg 2ϕ
8.14. (БМС) ∫ dϕ ;
0 1 + tgϕ
38
0 |
|
|
1 − ex |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.15. (ФЮГ) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
|
1 + ex |
|
|
||||||||||||
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.16. (АМИ) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + |
|
x |
+ 1 |
|
|
||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.17. *(ФКШ) ∫ |
|
|
|
|
|
dx подстановка x = 6sin2 t *; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
6 − x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.18. *(ФЦГ) ∫sin3 ϕ |
|
cosϕ |
dϕ ; |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.19. (ГАС) ∫ ex dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
8.20. (ЦМЦ) ∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
+ 2x + 2 |
||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
8.21. (МСЖ) ∫ln x dx ;
0
0
8.22. (ДИЛ) ∫ xex dx .
−∞
8.23.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (ответ записать в виде обыкновенной дроби, если полученное значение не целое):
а) (ААГ) y = x2 − 6 и y = −x2 + 5x − 6 ; |
б) (ЛСГ) |
y = x2 , y = 2x и y = x ; |
в) (КИЮ) 4 y = 8x − x2 и 4 y = x + 6 ; |
г) (ПБЮ) |
y = x3 − 3x и y = x ; |
д) (ЛЦЛ) y = 4 − x2 и y = x2 − 2x ; |
|
|
е) (МЮИ) 6x = y3 −16 y и 24x = y3 −16 y . |
|
|
8.24.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
а) (ЦКИ) y = sin x , y = 0 вокруг оси Ox ;
б) (ИСИ) y2 + x − 4 = 0 , x = 0 вокруг оси Oy . 8.25. Вычислить длину дуги кривой:
а) (КЛД) 9 y2 = 4(3 − x)3 между точками пересечения с осью Oy ; б) (ЛШЦ) астроиды x = a cos3 t , y = a sin3 t ;
в) (МГМ) кардиоиды ρ = a(1 + cosϕ .
39
9. ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ Вариант 1
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А) 7,6 |
|
|
Б) 6,5 |
||||||
1. (БКС) ∫ x4 dx равен |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
В) 7,2 |
|
|
Г) 6,6 |
|||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
А) 11 |
|
|
Б) 22 |
|||||||
2. (АШИ) ∫ |
|
|
|
dx равен |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В) 0 |
|
|
Г) -11 |
||||||||||||
cos |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. (ФШЮ) |
Вычисление несобственного |
А) интеграл расходится |
|
Б) π 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
+∞ |
|
|
dx |
|
|
В) π |
|
|
Г) 0 |
|||||||||
|
интеграла |
|
∫ |
|
|
|
приводит к |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
+ 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
следующему результату |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
2x2 − 2x − 7 dx равен |
А) − 26 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
4. (АПШ) |
∫( |
|
Б) 19 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
В) 23 3 |
|
Г) − 22 3 |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. (БЮГ) |
Какое из утверждений верно? |
А) функция от x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б) функция от |
f ( x) |
|
|
|
|||||
|
Интеграл ∫( f ( x) − ϕ( x))dx – |
это: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
В) функция от y = f ( x) − ϕ( x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г) число |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
А) 2 |
|
Б) 1 |
|||||||
1. |
(АЭШ) |
Значение интеграла |
∫sin2 xdx |
В) |
|
π |
|
Г) π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
А) − |
e |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
2. |
(ДЭЭ) |
Значение интеграла |
∫ xex dx |
|
|
|
|
Б) −e |
||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
1− e |
|
|
|
2 − e |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В) |
|
|
Г) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
3. (АГИ) Каков геометрический смысл |
А) длина линии y = f ( x) в интервале |
|||||||||||||||||||||
|
определенного интеграла от функции |
|
[a;b] |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y = f ( x) |
в интервале [a;b] |
в системе |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Б) |
|
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
|||||||||||||||||
|
декартовых координат |
|
|
|
линией y = f ( x) в интервале [a;b] |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В) среднее значение функции y = f ( x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в интервале [a;b] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г) |
|
максимальное значение функции |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f ( x) в интервале [a;b] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. (БЛК) |
Вычисление несобственного |
А) интеграл расходится |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
Б) I = 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
интеграла |
I = ∫ xe−2 x dx |
приводит к |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40