Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

trubeckoy_c4

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
413.06 Кб
Скачать

Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем

© Учебный центр «Азъ», 2012

Подготовка к С4

Треугольник, основные теоремы.

1.Две прямые пересекаются под углом 300 . От точки пересечения A на одной из прямых отложен

отрезок AB 1, на другой прямой отложен отрезок

AC

3 . Найти длину радиуса окружности,

 

 

 

Ответ: 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

C

описанной около треугольника ABC .

7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вариант.

По теореме косинусов найдем

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

BC AC2

AB2 2AC AB cos CAB 1. Радиус окружности

 

 

найдем из теоремы синусов окружности R

 

 

 

BC

 

1.

 

 

 

2sin 300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Вариант.

Следует из чертежа.

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. На двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно 12 , расположены вершины треугольника, боковые стороны которого равны 13. Найдите третью сторону треугольника.

Ответ: 10 ; 4 13 .

A

I. Вариант.

Дано: AB AC 13 , AD 12 По теореме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пифагора найдем DC

AC2 AD2

5 . Сторона треугольника

 

 

BC 10 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

D C

 

 

 

 

 

A

II. Вариант.

Пусть теперь треугольник расположен так, что

 

 

 

 

B D

C

AB BC

13.

 

 

 

3.В прямоугольном треугольнике ABC длины катет BC 4 равна AC 12 . На прямой AC взята

точка D так, что AD : DC 3 . Найдите sin ABD .

Ответ:

 

9

;

 

9

.

 

 

 

 

 

 

5

10

 

130

 

I. Вариант. По теореме Пифагора найдем AB 410 . Найдем DC 3 , затем

DB 5 . Т.к. B , sin sin B cos cos B sin . Получаем

sin

 

9

.

 

 

 

5

10

 

Заметим, что можно было из треугольника ABD по теореме косинусов найти cos , затем sin .

A

D

C B

1

A

II. Вариант. Рассмотрите другой вариант положения точки D .

C B

D

4.Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H . Известно, что CH AB . Найдите угол

ACB .

I. Вариант.

Треугольники ABF и CHF равны, т.к. оба они

прямоугольные, имеют по условию равные гипотенузы и

угол FAB HCF как два острых угла со взаимно

перпендикулярными сторонами. Следовательно, AF CF , и C

треугольник AFC прямоугольный и равнобедренный,

откуда ACB 450 .

Рассмотрите вариант тупого угла C . Докажите равенство треугольников FAB и HCF , затем докажите, что FA CF .

Ответ: 450 ; 1350 .

A

E

H

B

F

A

E

B

F

C

H

5.В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Прямая EF делит треугольник ABC на две фигуры, площади

которых относятся как 1: 3 . Найдите отношение длин отрезков AC и EF .

 

Ответ:

2 ;

 

2

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вариант.

Пусть SEBF : SAEFC 1:3 . Тогда

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SEBF : SABC 1: 4 . Треугольники ABC и EBF подобны,

 

 

E

 

 

M

 

 

 

F

причем коэффициент подобия k2 4

 

или k 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, AC : EF 2 .

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Вариант.

Рассмотрите случай SEBF : SAEFC 3:1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Площадь прямоугольного треугольника ABC C 900 равна 8 , длина катета

BC равна 2 .

Прямая проходит через точку B и образует угол 450 с прямой BC . Найдите расстояние от точки

A до указанной прямой.

 

Ответ: 3

 

 

; 5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вариант. Из формулы площади следует, что AC 8 , по теореме

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пифагора найдем AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68 . Найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin sin 1350

sin1350 cos cos1350 sin , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

5

2

. Затем AD AB sin 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2 .

 

 

C

 

 

450

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

II. Вариант. Рассмотрите другой вариант положения точки прямой.

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

450

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

7. В треугольнике ABC AB BC 13, а

AC 10 . В треугольник вписан прямоугольник так, что две

его вершины лежат на стороне AC ,

а две другие на сторонах AB и

BC . Известно, что одна

сторона прямоугольника вдвое больше другой. Найдите диагональ прямоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 3,75

 

;

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вариант.

 

По теореме Пифагора найдем BD 12 . Из

 

E

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

треугольника BDC найдем tg C

12

2,4 . Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN x ,

тогда FN 2x , а NC 5

x

. Из треугольника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

M

D

 

N

 

 

 

C

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

FCN следует, что FN CN tg C или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 5

 

2,4 . Получаем x 3,75 , Диагональ равна

x

5 3,75

5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

II.Вариант. Рассмотрите другой вариант расположения прямоугольника.

 

E

 

F

 

 

A

 

M D N

C

3

Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем

© Учебный центр «Азъ», 2012

Подготовка к С4

Окружность, основные теоремы.

1.Длина окружности равна 20 . Диаметр AB и хорда CD лежат на параллельных прямых.

Расстояние между указанными прямыми равно 19 . Найдите длину хорды BC . Ответ: 25 ; 295 .

I. Вариант. Длина окружности 20 2 R , откуда R 10 . Из

треугольника COK следует, что CK CO2 OK 2 9. Из треугольника COK находим cos OCK 0,9 . Далее

cos COA cos OCK 0,9 . По теореме косинусов находим

C

K

D

A

O

B

 

 

CA 25 . Из прямоугольного треугольника ABC найдем

BC 295 .

II.Вариант. Поменяйте местами точки C и D .

2.Площадь круга, ограниченного некоторой окружностью, равна 12 , AC – диаметр этой окружности, точка O – ее центр. Точка B лежит на окружности, причем площадь треугольника

AOB равна 3 . Найдите величину угла CAB . Ответ: 150 ; 750 .

 

 

 

 

 

B

I. Вариант.

Пусть AO R . Тогда R2

12 и R 12 .

 

 

 

Треугольник AOB равнобедренный, его площадь

 

 

 

 

 

A

 

O

C

S 1 R2 sin , откуда sin 1 . При данном расположении

 

 

 

2

2

1500 , откуда следует

 

 

 

точки B угол тупой, следовательно,

 

 

 

150 .

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

O

C

II.Вариант. Рассмотрите вариант острого угла .

3.Площадь круга с центром в точке O равна 144 . Точки A и B расположены на расстоянии 12,5 и

26 соответственно от точки

O . Длина хорды, лежащей на прямой AB равна 4 11 . Найдите

площадь треугольника AOB .

Ответ: 82,5 ; 157,5.

I. Вариант.

Длина R 12 . Из треугольника COK следует, что

 

 

 

OK 10 . Из треугольника AOK находим AK 7,5 , а из

 

O

 

треугольника ABK находим BK 24 . Далее

 

 

 

 

1

 

A

D

B

SAOB

 

AB OK 157,5 .

C

 

2

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

II.Вариант. Рассмотрите случай, когда точки A и B лежат по одну сторону от хорды CD .

O

C D B K A

4. На окружности с радиусом R 3 последовательно поставлены точки K , M ,

N и P так, что

дуги KM 400 и MN 1000 , а хорды KN и MP пересекаются под углом 700 . Найдите длину

наибольшей стороны четырехугольника KMNP . Ответ: 2

 

; 3 .

 

3

 

 

 

K

M

I. Вариант. Сначала надо доказать, что наибольшей стороной является KP , для этого найдем величину дуги KP . Вписанный

угол KNM 200 , угол NOM 1100 , следовательно, угол

PNM 500 , а дуга PN 1000 . Дуга

KP 3600 1000 1000 400 1200 является наибольшей, следовательно хорда KP является также наибольшей. Треугольник

O

700

N

P

KNP вписан в

окружность и по теореме синусов KP 2R . Получаем KP 3 . sin KNP

K M

O 700

II.Вариант. Рассмотрите другой вариант расположения хорды

MP .

P

N

5. На стороне AB угла ABC 300 взята точка D такая, что AD 2 и

BD 1. Найдите радиус

окружности, проходящей через точки A и D , и касающейся прямой BC . Ответ: 1;

7

 

 

E

C

 

 

 

I. Вариант.

По теореме о касательной и секущей BE2 BA BD ,

B

A

откуда BE

3 . По теореме косинусов найдем отрезки AE 3

D

 

и DE 1. Треугольник ADE прямоугольный, следовательно,

 

 

AD это диаметр и R 1.

 

 

C

II.Вариант. Рассмотрите другой вариант расположения окружности относительно угла ABC .

B D

A

E

2

Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем

© Учебный центр «Азъ», 2012

Подготовка к С4

Вписанные и описанные окружности

1.В треугольник ABC вписана окружность. Точка касания окружности стороны делит ее на

отрезки с длинами 6 и 4 . Периметр треугольника равен 24 . Найдите sin BAC . Ответ:0,6 ; 0,8 .

I. Вариант. Пусть CK CM 6 , AK AL 4 , а

BL BM x . Тогда 2 4 2 6 2x 24 и x 2 . Длины сторон треугольника таковы, что он является прямоугольным с

гипотенузой AC . Получаем sin BAC BC 0,8 .

AC

II. Вариант. Пусть CK CM 4 , AK AL 6 .

C

K

M

B A L

2. Треугольник

ABC вписан в окружность радиуса 12 . Известно, что AB 6 и BC 4 .

Найдите

AC .

Ответ:

35

 

 

15

.

I. Вариант.

Из теоремы синусов следует, что Пусть

 

BC

2R ,

откуда sin A 1 . Аналогично найдем

C

sin A

 

6

 

 

 

 

sin C 1 . Очевидно, что A острый, BL BM x . Тогда

 

 

4

 

 

 

cos A 35

 

A

 

B

. Угол C может быть и острым, и тупым.

 

 

6

 

 

 

Рассмотрим вариант острого угла, тогда cos C

15 . Найдем

 

 

 

 

4

 

sin sin Acos C cos Asin C , т.е. sin

35 15 . По теореме синусов найдем

 

 

 

24

 

AC

35

15 .

 

 

1

II. Вариант. Пусть C тупой, тогда cos C 15 . 4

A

B

C

3.Угол между радиусом AO окружности, описанной около треугольника ABC и стороной AC

равен 450 . Найдите угол A треугольника ABC , если угол C равен 250 .

Ответ: 1100 ; 200 .

I. Вариант.

Проведем радиус OC . Треугольник AOC

B

O

равнобедренный, следовательно, O 900 , а B 450 . Получаем

 

450

A 1800

250 450 1100 .

A

C

II. Вариант.

Рассчитайте самостоятельно.

O

 

 

A

450

 

C

 

 

B

4.Около треугольника ABC описана окружность с центром O , угол AOC 600 . В треугольник

ABC вписана окружность с центром M . Найдите угол AMC .

Ответ: 1650 ; 1050 .

C

I. Вариант.

0

M лежит

 

 

Пусть B острый, тогда B 30 . Точка

 

 

на пересечении биссектрис, значит, 2 2 1800 300

1500 ,

O

M

откуда 750 . Далее AMC 1800 1050

.

 

 

B

A

 

 

 

 

C

II. Вариант. Пусть B тупой, тогда B 3600 600 1500 .

2

O

B

A

2

5.Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки с длинами 3 и 4 . Найдите радиус окружности,

касающейся этой прямой и сторон угла

Ответ: 1; 6 .

I. Вариант. Пусть CB 4 и AC 3 , тогда AB 5 . Обозначим BE BF x и AF AD y . Тогда x y 5 и x 4 y 3, т.к. CDOE квадрат. Находим x 2 , R x 4 6 .

D

 

O

 

 

A

 

 

 

F

 

C

B

E

II.Вариант. Совсем простой, т.к. получается окружность, вписанная в египетский треугольник.

6. В треугольнике ABC AB BC 10, AC 12 . В треугольник вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная высоте BD , пересекает стороны треугольника в точках F и E .

Найдите длину радиуса окружности, описанной около треугольника CFE . Ответ: 2,5, 0,597

I. Вариант. Найдем BD 100 36 8 . Площадь

SABC 48, полупериметр

p 16 .. Тогда r

S

3 и

 

 

 

p

OD DF r 3. Тогда FC DC DF 3.

Треугольник DBC подобен треугольнику FEC с коэффициентом подобия k 2 . Следовательно, треугольник FEC – египетский, и длина искомого

радиуса R EC 2,5 . 2

II.Вариант. Рассчитайте второй вариант согласно чертежу.

 

B

E

 

 

 

O

 

A

D

C

 

F

B

E

O

C

A

F D

7.Площадь квадрата ABCD равна 16 . Окружность проходит через вершину A и касается прямых

BC и CD . Найдите радиус этой окружности.

Ответ: 4

2

 

2

1 ; 4

2

 

2

1 .

I. Вариант. Сторона квадрата равна 4 . Диагональ AC 42 . Пусть OF OE R . Тогда

AC AO OC R R2 . Отсюда

 

4

2

 

 

 

 

 

 

R

 

4 2

2 1 .

 

 

1

 

2

B

E

C

 

O

F

A

D

 

3

II. Вариант.

Рассчитайте второй вариант согласно

E

B

C

чертежу.

 

 

A

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

F

 

 

 

 

4

Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем

© Учебный центр «Азъ», 2012

Подготовка к С4

Четырехугольники.

1. В параллелограмме ABCD AB 4 ,

BC 2

. Площадь параллелограмма равна 4 3 . Круг с

центром в точке A касается прямой BD .

Найдите площадь части круга, расположенной

внутри параллелограмма.

 

Ответ:

2

;

4

.

 

 

7

 

 

3

 

 

I. Вариант.

Площадь параллелограмма S AD AC sin A , откуда sin A

3

.

 

2

По чертежу A острый, следовательно, A 600 и cos A 0,5 . В треугольнике ABD по теореме

косинусов найдем BD 2 3 . Проведем в точку

касания радиус AK , который является высотой

треугольника ABD . Площадь SABD

1

BD AK ,

 

 

2

 

откуда AK 2 . Площадь круга AK 2

4 .

Внутри параллелограмма находится

1

 

часть круга.

 

6

 

 

II. Вариант. Рассчитайте вариант тупого A .

K

B C

A D

B C

K

A D

2. В параллелограмме ABCD биссектрисы при стороне AD делят сторону BC в точках M и N так, что BM : MN 1: 5 . Найдите длину стороны BC , если AB 3 . Ответ: 3,5 ; 21.

I. Вариант.

Треугольник ABN равнобедренный,

B

M

 

N

C

следовательно, BN 3 , и BM 0,5 . Треугольник

 

 

 

 

 

DMC также равнобедренный и CM 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем BC BM MC 3,5 .

A

 

 

D

 

1

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]