ФЭП

Таганрог 2011

описанием примеров и справочной информацией позволят студентам изучить математический аппарат, используемый для решения уравнений математической физики, внутренний язык MATLAB [3 - 5], и, в дальнейшем, самостоятельно разрабатывать программные продукты на основе метода конечных разностей. Приведенные примеры и задания соответствуют целям подготовки специалистов по направлениям «Конструирование и технология электронных средств», «Электроника и наноэлектроника», «Нанотехнологии и микросистемная техника».

4

Руководство к выполнению лабораторной работы № 1 «Решение одномерного стационарного уравнения теплопроводности»

Рассмотрим в качестве примера стационарную задачу нахождения температуры внутри стены здания. Так же в стене отсутствуют внутренние источники тепла и температура на границах не меняется во времени. Будем считать данную задачу одномерной, поскольку нас интересует как изменяется температура по толщине стены. Со стороны помещения

температура стены будет Tr , со стороны улицы Tenv . Распределение температуры будет описываться уравнением теплопроводности, которое в векторной форме имеет вид [2]:

где ρ(x, y, z) - плотность; C(x, y, z) - удельная теплоемкость; k(x, y, z) -

коэффициент теплопроводности; f (x, y, z) - плотность источника тепла; T –

температура; t – время; x, y, z – координаты.

Для изотропной среды и одномерной стационарной задачи с учетом граничных условий в декартовой системе координат система уравнений будет иметь вид:

где L – толщина стены.

В конечно-разностном виде система уравнений (2), на равномерной сетке на отрезке [0, L]с шагом ∆x будет следующей:

5

где I – количество точек по длине.

Система уравнений (3) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), матрица коэффициентов которой, например для 6 точек, будет иметь вид:

6

В данной задаче нет источников тепла, поэтому fi = 0 .

Ниже приведен один из вариантов кода программы, позволяющей решить СЛАУ (3) и вывести результаты решения, которые приведены на рисунке 1.

close all clear all

% Решение уравнения теплопроводности

%Решение СЛАУ a=zeros(I,I); b=zeros(1,I); for i=2:I-1

a(i,i) =-k*2/dx^2; a(i,i+1)=k/dx^2; a(i,i-1)=k/dx^2; b(i) =f;

end

%граничные условия i=1;

a(i,i) = 1; b(i) = Tenv; i=I;

a(i,i) = 1; b(i) = T0; T=b/a'; plot(X,T) grid on xlabel('m') ylabel('K')

На рисунках 2-4 приведено распределение температуры при наличии внутренних источников тепла и граничных условиях, приведенных выше, для различного числа точек I = 30 – рисунок 2, I = 5 – рисунок 3 и I = 3 – рисунок

4.

7

Рисунок 2. Распределение температуры при наличии источников тепла, I = 30.

8

Рисунок 3. Распределение температуры при наличии источников тепла, I = 5

9

Руководство к выполнению лабораторной работы № 2 «Решение двумерного стационарного уравнения теплопроводности»

Рассмотрим в качестве примера задачу нахождения распределения температуры в балке с поперечным сечением, показанным на рисунке 5. На границах балки зададим граничные условия 1 рода – температуру Tenv .

Данная задача будет двумерной и стационарной, поскольку нас интересует, как изменяется температура по сечению балки.

y

Рисунок 5 - Двумерная модель

Для изотропной среды и двумерной стационарной задачи с учетом граничных условий в декартовой системе координат система уравнений будет иметь вид:

где Lx, Ly – габариты поперечного сечения балки.

10

В конечно-разностном виде система уравнений (7), на равномерной

где I, J – количество точек по координатам x и y, соответственно. Количество точек соответствует количеству уравнений. Для

наглядности, на рисунке 6 показано каким точкам какие уравнения соответствуют в системе уравнений (8).

x, i

Рисунок 6.

Стоит обратить внимание, что вектор-столбец неизвестных T должен имеет размерность 1× IJ , а в системе уравнений (8) его размерность I × J . Прежде чем выписывать коэффициенты матрицы A необходимо перенумеровать точки. Введем новый индекс n, который будет изменятся от 1 до N = IJ , а выражения для пересчета точек с различными индексами будут иметь следующий вид:

11

В данной задаче есть источник тепла (например, при протекании электрического тока), плотность мощности которого равномерно распределенный по площади поперечного сечения балки.

Ниже приведен один из вариантов кода программы, позволяющей

12

решить данную СЛАУ и вывести результаты решения, которые представлены

на рисунке 7.

dx=Lx/(I-1); dy=Ly/(J-1); X=0:dx:Lx; Y=0:dy:Ly;

%Решение СЛАУ

N=I*J;

a=zeros(N,N);

b=zeros(1,N); for i=2:I-1

for j=2:J-1 n=i+(j-1)*I;

a(n,n) =-k*2/dx^2-k*2/dy^2; a(n,n+1)=k/dx^2; a(n,n-1)=k/dx^2; a(n,n+I)=k/dy^2; a(n,n-I)=k/dy^2;

b(n) =-f;

end

end

%граничные условия

for j=1:J i=1;

n=i+(j-1)*I; a(n,n) = 1; b(n) = Tenv; i=I; n=i+(j-1)*I; a(n,n) = 1; b(n) = Tenv;

end

for i=2:I-1 j=1; n=i+(j-1)*I; a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv; j=J; n=i+(j-1)*I; a(n,n) = 1;

13

b(n) = Tenv;

end

TT=b/a';

T=zeros(I,J); for i=1:I

for j=1:J T(i,j)=TT(i+(j-1)*I);

end

end

meshc(Y,X,T) grid on xlabel('y, m') ylabel('x, m') zlabel('K')

axis([min(Y) max(Y) min(X) max(X) (min(min(T))-10) max(max(T))])

Рисунок 7 – Распределение температуры балке с поперечным квадратным сечением и источником тепла

14

система уравнений будет иметь вид:

где Lx, Ly, Lz – габариты балки.

В конечно-разностном виде система уравнений (13), на равномерной сетке с шагом по соответствующим осям координат ∆x , ∆y , ∆z будет следующей:

i = 2KI −1, j = 2KJ −1, n = 2KN −1;

где I, J, К – количество точек по координатам x, y, z соответственно.

Стоит обратить внимание, что вектор-столбец переменных T должен имеет размерность 1×IJN , а в системе уравнений (14) размерность матрицы

16

неизвестных I × J × N . Прежде чем выписывать коэффициенты матрицы A необходимо перенумеровать точки. Введем новый индекс l, который будет изменятся от 1 до L = NIJ , а выражения для пересчета индексов будут иметь следующий вид:

Система уравнений (14) представляет собой СЛАУ, матрица коэффициентов А и вектор столбец B которой, будут иметь вид:

решить данную СЛАУ и вывести результаты решения.

17

Lz=50e-2;

Tenv=300; % температура (К)

Z=0:dz:Lz;

%Заполнение коэффициентов матрицы А и В

N=I*J*S;

a=zeros(N,N);

b=zeros(1,N); for s=2:S-1

for i=2:I-1

for j=2:J-1 n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J;

a(n,n) =k*2/dx^2+k*2/dy^2+k*2/dz^2; a(n,n+1)=-k/dx^2;

a(n,n-1)=-k/dx^2; a(n,n+I)=-k/dy^2; a(n,n-I)=-k/dy^2; a(n,n-I*J)=-k/dz^2; a(n,n+I*J)=-k/dz^2; b(n)= -f;

end

end

end

% граничные условия for i=1:I

for j=1:J s=1;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J; a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv; s=S;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J; a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv;

end

end

for i=2:I-1 for s=2:S-1

18

j=J; n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J; a(n,n) = 1;

b(n) = Tenv; j=1;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J; a(n,n) = -1;

a(n,n+I) = 1;

end

end

for s=2:S-1 for j=1:J

i=1; n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J; a(n,n) = -1;

a(n,n+1) = 1; i=I;

n=i+(j-1)*I+(s-1)*I*J; a(n,n) = -1;

a(n,n-1) = 1;

end

end

% Решение СЛАУ

TT=b/a';

T=zeros(I,J,S); for s=1:S

for i=1:I

for j=1:J T(i,j,s)=TT(i+(j-1)*I+(s-1)*I*J);

end

end

end

%Вывод графиков по слоям по оси Z for s=1:S

figure mesh(Y,X,T(:,:,s)) grid on xlabel('y, m') ylabel('x, m') zlabel('T, K')

axis([min(Y) max(Y) min(X) max(X) (min(min(min(T)))) max(max(max(T)))])

pause (0.1)

end

%Вывод 3D графика

figure

slice(Y, X, Z, T, [Y(fix(3*J/4))], [X(fix(3*I/4))], [Z(fix(S/2))], length(X))

grid on colorbar xlabel('y, m') ylabel('x, m') zlabel('z, m') title('T, K')

19

Руководство к выполнению лабораторной работы № 4 «Решение двумерного нестационарного уравнения теплопроводности»

Рассмотрим в качестве примера задачу нахождения распределения температуры в однородной балке с прямоугольным поперечным сечением при нагреве (стационарный случай рассмотрен во 2 лабораторной работе). На границах сечения балки зададим граничные условия 1 рода – температуру Tenv . Данная задача будет двумерной и нестационарной.

Для однородной среды, двумерной и нестационарной задачи с учетом граничных и начальных условий в декартовой системе координат система уравнений будет иметь вид:

21

где I, J, N– количество точек по координатам x, y и времени, соответственно. Стоит обратить внимание, что вектор-столбец переменных T должен имеет размерность 1×IJN , а в системе уравнений (17) размерность матрицы неизвестных I × J × N . Прежде чем выписывать коэффициенты матрицы A необходимо перенумеровать точки. Введем новый индекс l, который будет изменятся от 1 до L = NIJ , а выражения для пересчета индексов будут иметь

следующий вид: