NG-Pdf / НГ_Л_02_Проецирование на две и три плоскости проекций

Проецирование на две и три плоскости проекций

Точка в системе двух плоскостей проекций.

Для получения проекций точки в системе двух плоскостей проекций необходимо из данной точки опустить перпендикуляры на соответствующие плоскости проекций, основания этих перпендикуляров и будут являться проекциями точки на соответствующих плоскостях проекций.

Рис 7. Проекции точки в системе двух плоскостей проекций.

Точка A’ – проекция на плоскость π1 – называется горизонтальной проекцией точки A. Точка A’’ – проекция точки A на плоскость π2 – фронтальная проекция точки A. Аналогично может быть построена проекция точка A на профильную плоскость проекций (π3), получим профильную проекцию точки A – A’’’.

Отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π1 и π2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax. Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π1 и π2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax.

Если положение плоскостей π1 и π2 фиксировано в пространстве, то каждой точке пространства соответствует упорядоченная пара точек на плоскостях проекций. Верно и обратное утверждение – упорядоченное паре точек на плоскостях проекций соответствует единственная точка пространства.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Эпюр Монжа.

Рассмотренное изображение точки в системе двух плоскостей проекций не совсем удобно для черчения.

С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобство изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г. под названием «Geometrie descriptive».

Рис. 8.

Как уже отмечалось ранее отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π1 и π2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax. Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π1 и π2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax.

Плоскость α пересекает плоскости проекций π1 и π2 (отрезки A’Ax и A’’Ax). Отрезки A’Ax и A’’Ax перпендикулярны оси проекций X. Проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке (в нашем примере в точке

Ax.

Гаспрар Монж предложил способ преобразования чертежа путем поворота горизонтальной плоскости проекций π1 вокруг оси проекций X до совмещения с фронтальной плоскостью проекций π2 (рис. 9.).

Проецирование на две и три плоскости проекций

Рис. 10. Преобразование чертежа по методу Монжа.

После такого преобразования плоскость π1 на чертеже совмещается с плоскостью π2 и в результате получаем чертеж в виде наложенных друг на друга плоскостей π1 и π2. Такой способ изображения получил название «Эпюр Монжа» (от французского Épure – чертеж, проект).

Рис. 11. Положение проекций точки на эпюре Монжа.

При рассмотрении преобразованного чертежа необходимо учитывать, что плоскости проекций π1 и π2 занимают все пространство, и мы видим наложение двух плоскостей.

На эпюре Монжа проекции точки A - A’ и A’’на плоскостях проекций π1 и π2 расположены на одной прямой перпендикулярной к оси проекций X. Отрезок

A’A’’ называется линией связи. Таким образом, две проекции точки всегда расположены на одной линии связи перпендикулярной к оси проекций.

Если внимательно проанализировать исходный рисунок положения точки в системе двух плоскостей проекций и эпюр Монжа, то можно видеть, что величина отрезка AxA’= AA’’ и определяет расстояние точки A от плоскости проекций π2, а величина отрезка AxA’’= AA’ - определяет расстояние точки A от плоскости π1.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Две взаимно перпендикулярные плоскости π1 и π2 делят все пространство на четыре квадранта (вспомним то, как две перпендикулярные оси X и Y на плоскости делят эту плоскость на четыре четверти).

Рис. 12. Деление пространства двумя плоскостями на 4 квадранта.

В зависимости от того, в каком квадранте пространства расположена точка еѐ проекции занимают определенное положение на эпюре Монжа.

Рис. 13. Положение точек на эпюре Монжа.

По эпюру Монжа можно определить, что точки занимают следующие положения в пространстве:

Точка А расположена в первом квадранте; Точка B расположена во втором квадранте; Точка C расположена в третьем квадранте; Точка D расположена в четвертом квадранте;

Точка E расположена непосредственно в плоскости π2.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Точка в ситеме трех плоскостей проекций.

На ряду с проецирование на две плоскости проекций используется система трех плоскостей. Положение любой точки в пространстве, а следовательно и любой геометрической фигуры может быть определено в какой либо системе координат.

Наиболее удобной является декартова система координат в пространстве, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей. Эту систему можно получить как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей – горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3.

Линии пересечения этих трех плоскостей образуют в пространстве систему трех взаимноперпендикулярных осей: абсцисс – ось X, ординат – ось Y и аппликат – ось Z. Точка пересечения трех осей – точка «O» от латинского «origo» - начало, является началом отсчета по всем осям координат (рис. 14), стрелками показано положительное направление значений координат. Оси X,Y и Z называются осями прекций.

Z

A’’ Az

A A’’’

Y

Рис. 14. Положение точки в системе трех плоскостей проекций.

Величина отрезка AA’ = A’’Ax – расстояние от точки A до плоскости π1. Величина отрезка AA’’ = A’Ax – расстояние от точки A до плоскости π2. Величина отрезка AA’’’ = A’Ay – расстояние от точки A до плоскости π3.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Три пересекающиеся плоскости делят все пространство на восемь октантов.

По знакам координат точки можно определить в каком октанте пространства она расположена.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Преобразование чертежа в системе трех плоскостей проекций.

Как и в случае проекции в системе двух плоскосте, в системе трех плоскостей используют метод преобразования чертежа, предложенный Гаспаром Монжем.

Это связано стем, что в подобном виде чертеж получается громоздким и на плоскостях π1 и π2 происходит искжение форм и размеров фигур.

Рис. 16. Преобразование плоскостей в системе трех плоскостей проекций.

На рисунке 16 стрелками показано направление вращения плоскостей вокруг осей проекций.

В процессе преобразования плоскость π2 остается на месте, плоскость π1 поварачивается вокруг оси X до совмещения с плоскость π2, плоскость π3 поварачивается вокруг оси Z до совмежения с плоскостью π2. После такого преобразования все три плоскости оказываются наложенными друг на друга (рис.

17).

Проецирование на две и три плоскости проекций

Z

X Y

Y

Рис. 17. Вид чертежа после преобразования.

Вплоскости π1 лежат оси X и Y. В плоскости π2 лежат оси X и Z. В плоскости π3 лежат оси Y и Z.

Врезультате преобразования плоскости π1 ось X остается на месте, а ось Y на чертеже направлена вниз.

Врезультате преобразования плоскости π3 ось Z остается на месте, а ось Y на чертеже направлена вправо.

Таким образом после преобразования чертежа ось Y занимает на чертеже два положения: ось Y направленная вниз принадлежит плоскости π1; ось Y направленная влево принадлежит плоскости π3.

Положение проекций точки на чертеже зависит от того, в каком октанте пространства она расположена.

Проекции любой точки можно построить неросредственно на чертеже: положение горизонтальной проекции определяется парой координат X,Y (ось Y направленная вниз); положение фронтальной проекции определяется парой координат X,Z; положение профильной проекции определяется парой координат Y,Z (ось Y направленная вправо).

Если точка расположена в первом октанте, то значения всех трех координат (X,Y,Z) положительны.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Построение недостающей проекции в системе трех плоскостей проекций:

Z

A’’

A’’

X Y

A’

1

k

Y

Рис. 18. Порядок построения недостающей проекции точки.

Пусть даны горизонтальная (A’) и фронтальная (A’’) проекции точки A.

Необходимо построить недостающую профильную проекцию (A’’’). При построении выполнении построений необходимо помнить следующие правила начертательной геометрии:

1.Горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда находятся на одной линии связи перпендикулярной к оси X.

2.Фронтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z.

3.Горизонтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной горизонтально-вертикальной линии связи перпендикулярной оси Y.

Порядок построения:

Проецирование на две и три плоскости проекций

Проведем через точку A’’ линию перпендикулярную к оси Z. Искомая профильная проекция должна находиться на этой линии.

Для построения горизонтально-вертикальной линии связи перпендикулярной оси Y воспользуемся постоянной прямой чертежа.

О. Постоянной прямой чертежа называется биссектриса угла, образованного осями Y. Обычно обозначают буквой k.

Через горизонтальную проекцию точки проведем перпендикуляр к вертикальной оси Y до пересечения с постоянной прямой чертежа (точка 1), затем из точки 1 проведем перпендикуляр к вертикальной оси Y до пересечения с линией связи, перпендикулярной оси Z.

Точка пересечения линии связи перпендикулярной к оси Z и горизонтально-

вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси Y и является профильной проекцией точки A.

Ещѐ раз отметим, что горизонтальная проекция точки определяется еѐ абсциссой и ординатой, фронтальная – абсциссой и аппликатой, профильная – ординатой и аппликатой.

Точка в пространстве удалена от плоскости:

π1 на величину равную величине отрезка A’’Ax или A’’’Ay.

π2 на величину равную величине отрезка A’Ax или A’’’Az.

π3 на величину равную величине отрезка A’Ay или A’’Az.