Богатин А.С. Электростатика.Методичка

емкостью обладает шар, радиус которого в 1/0,000711 = 1406 раз больше радиуса Земли.

Как мы только что увидели, уединенные проводники обладают малой емкостью. Однако емкость уединенного тела можно значительно увеличить, если поднести к нему другое тело или тела. Поскольку на практике нужны устройства с большой электроемкостью, это обстоятельство стали использовать для создания таких устройств. В основе описанного возрастания емкости тел при приближении к ним других тел лежит следующее. При сближении тел заряды, противоположные по знаку заряду рассматриваемого проводника, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные, и оказывают большое влияние на его потенциал. Потенциал проводника уменьшается, а емкость, как видно из (30), растет.

Систему двух (или более) проводящих тел, емкость которых уже не зависит от других окружающих тел, принято называть конденсатором. Сами эти тела называют обкладками конденсатора. Силовые линии, исходящие из одной обкладки заканчиваются на другой (других). В зависимости от геометрии обкладок различают 3 вида конденсаторов. С плоским конденсатором мы уже сталкивались. Обкладки плоского конденсатора представляют собой две параллельные пластины, расстояние между которыми мало по сравнению с их размерами. Простым конденсатором является также сферический конденсатор, обкладки которого две концентрические сферы. Трубчатый или цилиндрический конденсатор имеет обкладки в форме коаксиальных цилиндров. Для любой формы конденсаторов можно легко экспериментально установить, что с ростом площади обкладок и с уменьшением расстояния между ними емкость конденсатора возрастает.

Попробуем теперь вычислить емкость самого простого плоского конденсатора. Разность потенциалов между его обкладками дается формулой (24), а заряд на обкладках площадью S находится легко q =σ S . Подставив значения заряда и разности потенциалов в (30), получаем

В формуле (32) d – расстояние между обкладками. Емкость конденсатора легко увеличить, не меняя его геометрию, а заполнив пространство между обкладками диэлектриком. От этого емкость конденсатора возрастает в ε раз. Величину ε называют относительной диэлектрической проницаемостью диэлектрика. К этому понятию мы вернемся, рассматривая электрические поля, создаваемые зарядами внутри диэлектрика. Итак, для плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, получаем

21

Анализируя выражение (33) нетрудно увидеть, что, как и следует из эксперимента, емкость можно увеличить, увеличивая S и уменьшая d.

Хотя промышленность выпускает множество самых разных конденсаторов, отличающихся формой обкладок, видом диэлектрика, емкостью, но часто на практике приходится сталкиваться с необходимостью использовать конденсатор с номиналом, которого нет в наличии. В этих случаях можно с целью подбора нужной емкости составить батарею из конденсаторов, имеющихся в наличии. Проще всего рассчитывать емкости таких батарей, если конденсаторы в них включены последовательно или параллельно. Посмотрим, как это можно сделать. Начнем с последовательного включения. Оно изображено на рис. 11.

C1 C2

-q1 q1 -q2 q2

-q q

∆ϕ

Рис. 11

Два конденсатора С1 и С2, составляющие эту батарею, включены последовательно. Наша задача найти емкость С, которой можно заменить эту батарею конденсаторов. Создав разность потенциалов между обкладками конденсаторов, входящих в батарею, мы заряжаем их. Допустим, заряд левой обкладки конденсатора С1 является отрицательным (его модуль обозначим q1), а заряд правой обкладки конденсатора С2 является положительным (обозначим q2). На внутренних обкладках конденсатора при этом происходит смещение зарядов. Внутренняя обкладка конденсатора С1 приобретает заряд q1, а конденсатора С2 – заряд q2. До зарядки конденсаторов суммарный заряд на внутренних обкладках был равен нулю и т.к. через идеальный конденсатор заряд пройти не может, он таким и остается. Поэтому +q1- q2=0 и q1= q2, т.е. заряды на последовательно включенных конденсаторах одинаковы. Можно утверждать, что заряд, подошедший при зарядке к конденсатору С q= q1= q2, т.к. этот конденсатор заменяет последовательно включенные конденсаторы. Итак, для трех рассматриваемых нами конденсаторов можно написать C1 = q ∆ϕ1 ;C2 = q ∆ϕ2 ;C = q ∆ϕ. Найдя из этих равенств ∆ϕ , ∆ϕ1 , ∆ϕ2 и подставив в

22

При последовательном включении нескольких конденсаторов равенство (35) переходит в

Теперь остановимся на параллельном включении конденсаторов. Такая батарея приведена на рис. 12.

C1 -q1q1

-q2 C2q2

-qq

∆ϕ

Рис. 12

В этом случае заряд, подходящий к обкладкам конденсатора С равен сумме зарядов, подходящих к обкладкам конденсаторов С1 и С2

Разности же потенциалов между обкладками всех конденсаторов

При параллельном включении большого числа конденсаторов получаем

§ 14. Энергия заряженного конденсатора

23

Если к обкладкам заряженного конденсатора присоединить проводники, замкнутые на электрическую лампочку, то лампочка вспыхнет. При этой вспышке в ней выделяется энергия, которая ранее была запасена в конденсаторе. Оценим величину этой энергии. Для этого начнем переносить с одной обкладки конденсатора маленькими порциями электрические заряды, заряжая конденсатор. К моменту очередного переноса заряда dq с одной обкладки на другую в конденсаторе создалась разность потенциалов ∆ϕ . Тогда работа dA, затраченная на такой перенос,

может быть записана, как

dA = ∆ϕ dq

Работа dA идет на увеличение энергии, запасенной в конденсаторе. Суммируя работы по переносу заряда с ранее незаряженной обкладки, на вторую обкладку конденсатора мы вычислим тем самым и энергию зарядов, накопившуюся в конденсаторе.

Выражение для энергии, запасенной в конденсаторе, (42) с учетом определения емкости (30) можно записать

Все эти выражения совершенно равноправны. Выражение для энергии, запасенной в конденсаторе, можно было бы получить, воспользовавшись выражением (27).

§ 15. Энергия электрического поля

При зарядке конденсатора мы тратим энергию на создание внутри этого конденсатора электрического поля. Поэтому энергия, запасенная в заряженном конденсаторе, является энергией, существующего в нем поля. Попробуем вычислить объемную плотность энергии этого поля ω, т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема поля. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подставим в выражение для энергии плоского конденсатора (42) его емкость (33)

W = C∆ϕ2 = εε0 S∆ϕ2

2 2d

Домножив в последнем выражении числитель и знаменатель на d, получим в числителе Sd=V объем, занимаемый полем, а его напряженность Е найдется как E= ∆ϕ /d. В итоге получаем

24

W = εε02E 2V

Объемную плотность энергии поля получим, разделив W на V,

В случае однородного поля его энергию можно подсчитать, умножив ω на объем V , занимаемый полем

(45)

Для неоднородного поля приходится разбивать объем, занимаемый полем, на достаточно малые объемы dV, такие, чтобы в их пределах можно было

§ 16. Электрический диполь

Как мы уже говорили, электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов: +q и -q, расстояние между которыми l значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в которых определяется поле этой системы зарядов. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Сам электрический диполь принято характеризовать его электрическим моментом р. Электрический момент диполя (его иначе называют дипольный момент) – это вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и модуль которого равен произведению q и l (рис. 13).

р = ql

Поле диполя обладает осевой симметрией. Сориентируем диполь вдоль оси х (рис. 14), а ось у направим вдоль серединного перпендикуляра к l.

В случае, когда М находится от диполя на расстоянии r, значительно превышающем l, можно для потенциала диполя записать:

25

Как видно из (47) потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда (1/r2 вместо 1/r). Напряженность поля диполя также убывает быстрее (1/r3), чем напряженность поля точечного заряда (1/r2). Этого результата и следовало ожидать, на больших расстояниях два заряда противоположных знаков кажутся столь близкими, что нейтрализуют друг друга.

В разных направлениях на одинаковом расстоянии от диполя Е

Величины этих полей при одинаковом r отличаются в два раза. Посмотрим теперь, как ведет себя диполь, помещенный в электри-

ческое поле. Начнем с однородного поля (рис. 15). На заряды диполя со стороны поля действуют равные по величине, но противоположно направленные силы f1 и f2.

Рис. 15

Эти силы образуют пару с плечом l sinα . Модуль каждой из сил равен qE. Момент этих сил, таким образом равен

Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы дипольный момент установился по направлению поля.

Если мы захотим увеличить угол между Р и Е на dα, нужно совершить работу против электрических сил. Эта работа равна

26

Совершенная работа увеличивает потенциальную энергию диполя в электрическом поле

Проинтегрировав (54) и положив постоянную интегрирования нулю, получаем

Выбор константы интегрирования, равной нулю, означает выбор уровня отсчета потенциальной энергии. Она, таким образом, равна нулю, когда диполь перпендикулярен к полю. Эта энергия минимальна (-РЕ) для

α= 180°.

Всвязи с тем, что в неоднородном поле силы f1 и f2 не равны по модулю, кроме вращающего момента возникают еще силы, стремящиеся переместить диполь в область с большим или меньшим значением напряженности.

Рассмотрим силы, действующие на диполь в неоднородном поле

(рис. 16).

Рис. 16

В случае, когда Р сонаправлен с Е (а, г) результирующая сила f стремится вдвинуть диполь в область с более сильным полем. При Р,

27

электрокардиограмму. Каждый орган имеет специфическое электрическое

поле и характерные потенциалы действия. Их регистрация используется для физиологических исследований. Большое значение приобрела регистрация биопотенциалов сердца (электрокардиография), мозга (электроэнцефалография) и мышц (электромиография).

Исследования показали, что тело рыб является своего рода электрическим диполем, образующим в окружающей среде электрическое поле. Из-за этого, видимо, рыбы так чувствительны к внешним электрическим полям. Перераспределение заряда в теле рыб происходит за счет работы нервно – мышечной ткани. Некоторые виды рыб (электрический угорь, скат, сом и др.) имеют специальный орган для накапливания электрической энергии – своеобразную батарею конденсаторов из множества чередующихся прослоек нервной (проводящей) и соединительной (непроводящей) ткани. Напряжение при этом может достигать 600 – 1000 В, а мощность разряда – 200 кВт.

Фотосинтез, происходящий в растениях под действием света, также сопровождается перераспределением зарядов. Все жизненно важные процессы в живых организмах связаны с электрическими эффектами. Этим можно объяснить влияние внешних электрических полей на процессы в живых организмах. Так, постоянное электрическое поле ускоряет фотосинтез и рост растений (если силовые линии направлены вниз) или тормозят их (при обратной полярности).

Земля заряжена отрицательно ( q ≈ 6 105 Кл), а верхние слои атмосферы положительно. Напряженность электрического поля у поверхности Земли Е=130 В/м. Изменение околоземного поля в результате различных атмосферных явлений (циклоны, грозы и т.д.) приводит к перераспределению зарядов в организме и влияет на его состояние.

Есть опытные данные о том, что внешнее электромагнитное поле определенной интенсивности и частоты подавляет рост опухолевых клеток; ученые связывают это с влиянием поля на проницаемость мембран и обмен веществ в клетках. Исследование работы мембраны – одна из актуальных задач биологии.

30