Schisla_1
.pdfности
|
|
b |
|
b − a |
n |
|
R (f) = |
|
ρ(x) f(x) dx |
|
C f(x ). |
||
|
− |
∑ |
||||
n |
a |
|
2 |
k k |
||
∫ |
|
k=1 |
Если при выводе квадратурных формул задаются узлы xk (как правило, равноотстоящие), а разыскиваются коэффициенты Ck, то получаются формулы Ньютона - Котеса. К группе этих формул при ρ(x) = 1 относятся хорошо известные формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона.
4.1Формулы Ньютона - Котеса
Пусть в заданных n узлах xk [a, b], k = 1, 2, ..., n известны значения подынтегральной функции fk = f(xk). Функцию f(x) с помощью интерполяционного полинома Лагранжа Ln(x) можно записать в виде
|
f(x) = Ln(x) + rn(x), |
|
(4.2) |
||||||
где |
n |
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− |
|
|
|||
|
|
∑k |
|
∏̸ |
|
|
|
||
Ln(x) = |
f(xk) |
|
x − xj |
, |
|||||
|
|
=1 |
|
|
j=1;j=k |
xk |
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f(n)(ξ(x)) |
n |
|
|
|
|
|
||
а rn(x) = f(x) − Ln(x) = |
|
|
|
∏k |
|
– погрешность интерполя- |
|||
|
n! |
|
(x − xk) |
=1
ционного многочлена Лагранжа, ξ(x) (a, b). Тогда из (4.2) и (4.1) получается выражение
∫b ∫b ∫b
I(f) = ρ(x) · f(x) dx = ρ(x) · Ln(x) dx + ρ(x) · rn(x) dx,
a a a
первое слагаемое которого определяет квадратурную формулу Sn(f), а вто-
рое ее погрешность Rn(f). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь удобно сделать замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = a + b |
+ tb − a |
, |
если |
a |
6 |
x |
6 |
b, |
то − |
1 |
6 |
t |
6 |
1. |
(4.3) |
||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Узлы интерполяции можно записать в виде
41
xk = |
a + b |
+ dk |
b − a |
, |
|
2 |
|||
2 |
|
|
где dk [−1, 1]. После замены интерполяционный многочлен примет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
n ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
− |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∏̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
+ t |
b − a |
= f |
|
|
|
|
|
|
|
t − dj |
, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k=1 |
|
k j=1;j=k dk |
|
dj |
|
|
|
|||||||||||||||
а квадратурная формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
( |
|
Sn(f) = ∫a ρ(x) Ln(x) dx = |
|
2 |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
n ( |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
b |
− a |
|
ρ |
a + b |
|
+ t |
b |
− a |
|
|
L |
|
|
|
a + b |
+ t |
b − a |
dt = |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
n |
|
|
|
1 |
|
a + b |
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
t − dj |
|
|
|
b − a |
n |
|
|||||||||||||
= |
f |
|
|
ρ |
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
C f , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∏̸ |
|
|
∑ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
∑ |
|
−1 |
( |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dk |
− |
dj |
|
|
|
|
2 |
k k |
|||||||||||||||
|
k=1 |
k ∫ |
|
|
|
|
|
)j=1;j=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
a + b + tb − a |
|
|
|
n |
|
|
|
t − dj dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
C = ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
( |
)j=1;j=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
где k |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— коэффициенты Ньютона |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
dk |
− |
dj |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Котеса. Эти коэффициенты зависят от пределов интегрирования a и b,
если ρ(x) ≠ const .
Для погрешности получается выражение
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
R |
f |
I f |
S |
f = ρ(x) r |
(x) dx = |
|||||
|
n( ) = b |
( ) − |
|
n( ) |
n ∫a |
n |
|
|||
|
a |
|
|
f(n)(ξ) |
∏ |
|
|
|||
|
= ∫ |
|
ρ(x) |
|
n! |
|
k=1(x − xk) dx, |
из которого после замены (4.3) следует оценка
∫1
(b − a)n+1 |Rn(f)| 6 n! 2n+1
−1
ρ a + b + tb − a f(n)(ξ) |
n |
(t d )dt . |
|
|||||
|
|
|
|
|
∏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
2 |
) |
k=1 |
− k |
|
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (4.4) видно, что, даже если производная f(n)(x) подынте-
гральной функции имеет на [a, b] интегрируемую особенность, то погреш-
42
ность Rn(f) ограничена (отметим, что интерполяционный многочлен сте-
пени n − 1 для такой функции строить нельзя). Если же существует Mn =
max f(n) |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x [a;b] |
| |
|
|
|, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
n |
| 6 |
|
|
n! |
( |
|
|
2 |
) |
n+1 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(f) |
|
C |
Mn |
|
b − a |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
a + b |
|
|
b − a |
∏ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
C = |
|
|
ρ |
|
+ t |
|
|
|
|
t |
d |
|
dt. |
|
|
|||||
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
| − |
k| |
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
) k=1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f(x) является произвольным многочленом степени m 6 n − 1, то
f(n)(x) = 0. Это означает, что квадратурная формула Ньютона– Котеса точна (Rn(f) = 0) для любого многочлена степени m 6 n − 1, если отсут-
ствуют ошибки округления. В этом случае говорят, что формула Ньютона–
Котеса имеет алгебраическую точность n − 1.
Если вес ρ(x) – четная функция относительно середины отрезка (a+b)/2
(ρ ( |
a + b |
+ x) = ρ ( |
a + b |
− x)), тогда узлам, расположеным симмет- |
|
|
|||
2 |
2 |
рично относительно середины (dk = −dn+1−k), соответствуют равные коэффициенты.
Действительно, если сделать замену t на −t и воспользоваться равен-
ством dk = −dn+1−k, то получится следующая цепочка равенств
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a + b |
|
|
b − a |
|
n |
|
|
t − dj |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
C = ρ |
|
+ t |
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
1 |
( |
|
|
2 |
|
2 |
|
)j=1;j=k dk |
− |
dj |
|
|
|||||||||||
1 |
|
∫ |
1 |
−∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
∏̸ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
∏̸ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
− ρ |
|
|
− |
t |
b − a |
|
|
|
|
|
−t + dn+1−j |
dt = |
|
|||||||||||||||
−∫ |
− 1 |
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 )j=1;j=k |
|
dn+1−k + dn+1−j |
|
|
||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏̸ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ρ |
|
a + b |
+ t |
b − a |
|
|
|
|
|
t |
− dn+1−j |
|
|
dt = C |
. |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
)j=1;j=k dn+1−k |
|
dn+1−j |
|
|
n+1−k |
|
Если ρ(x) – четная, а f(x) – нечетная функции относительно середины
отрезка (f ( |
2 |
+ x) = −f ( |
2 − x)), то I(f) = ∫ |
ρ(x) f(x) dx = |
|
a + b |
|
a + b |
b |
a
0, а в силу свойства коэффициентов и Sn(f) = b − a ∑n Ckf(xk) = 0.
2
k=1
43
Такие квадратурные формулы, точны (Rn(f) = 0) для любой нечетной относительно середины отрезка функции.
Произвольный многочлен степени n можно записать в виде
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 = an (x − |
a + b |
) |
n |
|
+ Pn−1(x), |
||
2 |
|||
где многочлен Pn−1(x) степени n − 1. |
|
|
|
Такие "симметричные" квадратурные формулы, построенные по нечетному числу n симметричных узлов, имеют алгебраическую точность n (на единицу большую, чем в других случаях). Уточненная оценка погрешности получается, если использовать интерполяционный полином с двукратным узлом x = (a + b)/2. Эта оценка выражается через (n + 1)-ую производную
и имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
n+2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(f) |
| |
6 |
C |
|
Mn+1 |
|
b − a |
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
| n |
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|||||||||||
M |
n+1 |
= max f(n+1)(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x [a;b] | |
|
|
|, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) · | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a + b |
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C = |
|
ρ |
|
+ t |
t |
|
d |
|
|
|
|
|
t |
|
d |
|
dt. |
||||||||||
|
( 2 |
|
− |
(n+1)=2| j=1 |
|
− |
j| |
||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
| |
|
|
||||||||||||||
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вывод формулы Симпсона. Пусть ρ(x) = 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трем узлам x1 = a, x2 = (a + b)/2 и x3 = b, имеет вид
L3(x) = f(a) |
(x − (a + b)/2)(x − b) |
+ |
||||
(a − (a + b)/2)(a − b) |
||||||
+f ( |
|
) |
|
|
||
a + b |
|
(x − a)(x − b) |
|
|||
|
|
|
|
2((a + b)/2 − a)((a + b)/2 − b)
+f(b) |
(x − a)(x − (a + b)/2) |
= |
|
2 |
|
(f(a) (x |
− |
(a + b)/2)(x |
− |
b) |
||||||||||||
|
|
|
(b − a)2 |
|||||||||||||||||||
|
(b − a)(b − (a + b)/2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||
−2f((a + b)/2) (x − a)(x − b) + f(b) (x − a)(x − (a + b)/2)) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если вычислить ∫a |
L3(x) dx, то получится формула Симпсона |
|
|
|||||||||||||||||||
|
I(f) |
≈ |
S |
(f) = |
b − a |
|
1 |
f(a) + |
4 |
f |
a + b |
+ |
1 |
f(b) , |
|
(4.5) |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
2 ( |
3 |
|
3 ( |
) |
) |
|
44
погрешность которой
R3(f) = I(f) − S3(f) = |
b |
′′′(3!( ))(x − a)(x − b)(x − |
2 |
) dx |
||||||||||||
∫a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
ξ x |
|
|
|
|
|
|
a + b |
||
|
f′′′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
f′′′(x) |
| 6 |
M |
|
|
|
Если |
|
существует и ограничена ( a6x6b |
| |
|
3), то |
|
||||||||||
|
|
| |
R |
(f) |
6 |
M |
|
(b − a)4 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
196 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
| |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
При выводе формулы Симпсона использовались расположенные симметрично относительно середины отрезка три узла, значит можно получить уточненную оценку погрешности. Пусть у подынтегральной функции существует f(4)(x) на отрезке [a, b]. Запишем интерполяционную формулу Ньютона с разделенными разностями для узлов x1 = a, x2 = b и двукрат-
ного узла x3 = x4 = |
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
||
Q4(x) = f(a) + f(a, b) (x − a) + f(a, b, |
|
) (x − a)(x − b)+ |
||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
+f(a, b, |
a + b |
, |
a + b |
) (x − a)(x − b)(x − |
a + b |
) = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a + b |
|
a + b |
|
a + b |
|
|
|
||||||||||
= L3(x) + f(a, b, |
|
|
|
|
, |
|
|
) (x − a)(x − b)(x − |
|
|
|
|
). |
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
Погрешность такого полинома имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
f(4)(ξ(x)) (x − a)(x − b) (x |
|
|
a + b |
) |
2 |
||||||||||||
r(x) = f(x) − Q4(x) = |
|
− |
|
|
. |
|||||||||||||||||
4! |
2 |
|
Квадратурная формула, построенная с помощью многочлена Q4(x), име-
ет вид
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
Ib(f) = ∫a |
f(x) dx ≈ ∫a |
Q4(x) dx = |
|
|
||||
= ∫a |
L3(x) dx + ∫a |
f(a, b, |
a + b |
, |
a + b |
) (x − a)(x − b)(x − |
a + b |
) dx |
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
2 |
Первое слагаемое совпадает с формулой Симпсона, а второе равно нулю, так как подынтегральная функция нечетная относительно середины
45
отрезка. Если подынтегральная функция имеет ограниченную четвертую
производную max |f(4)(x)| 6 M4, то для этой формулы получается оценка
a6x6b
погрешности
|R(f)| 6
|
a |
b |
|
f(a, b, a + b, a + b)(x a)(x b)(x |
|
a + b) |
|
dx M (b − a)5 , |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
∫ |
|
|
|
2 |
|
2 |
− |
− |
− |
2 |
|
|
6 |
4 |
2880 |
|
Итак, |
используя n произвольных узлов можно вывести |
квадратурную |
формулу Ньютона - Котеса, имеющую алгебраическую точность (n − 1). Если же значение n нечетное, весовая функция четная относительно се-
редины отрезка интегрирования (x = |
a + b |
) и узлы выбраны симметрич- |
|
||
2 |
ными относительно этой же точки, то алгебраическая точность увеличится на единицу.
Оказывается для некоторых весовых функций (например, для положительных почти всюду на [a, b]) существуют квадратурные формулы с мак-
симальной алгебраической точностью 2n − 1.
Замечание. При выводе квадратурных формул Ньютона– Котеса узлы необязательно равноотстоящие. Например, узлы можно выбрать с помощью корней многочлена Чебышева
x |
|
= |
a + b |
+ |
a − b |
cos |
π(2k + 1) |
, k = 0, 1, ..., (n |
− |
1). |
|
k |
|
|
2n |
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
Тогда за счет выбора узлов получается оптимальная оценка для интерполяционного полинома
| |
f(x) |
− |
L |
|
(x) |
|
Mn |
|
1−2n |
b |
− |
a n, |
M |
max f(n)(x), |
|||
|
|
n! 2 |
|||||||||||||||
|
|
n |
| 6 |
|
|
( |
|
|
) |
|
n = a6x6b |
||||||
а значит и оптимальная оценка для квадратурной формулы. |
|||||||||||||||||
Если использовать эти узлы для вычисления |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I(f) = ∫ |
b |
|
|
f x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
( ) |
dx, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
− |
|
|
46
1 |
|
с весовой функцией ρ(x) = √1 − x2 |
, то получаются квадратурные фор- |
мулы с равными коэффициентами — квадратурные формулы Чебышева.
Для отрезка [−1, 1] формула Чебышева (Эрмита) имеет вид
1 |
|
|
|
|
π n |
||
I(f) = ∫ |
f x |
||||||
√ |
|
( ) |
dx ≈ Sn(f) = |
|
k=1 f(xk). |
||
n |
|||||||
1 |
x2 |
||||||
−1 |
|
|
− |
|
∑ |
Формула Чебышева относится к группе формул типа Гаусса, имеющих наивысшую алгебраическую точность 2n − 1.
4.2Формулы типа Гаусса
Будем разыскивать такие узлы xk и такие коэффициенты Ck квадра-
турной формулы
∑n
Sn(f) = Ckf(xk),
k=1
чтобы она имела как можно более высокую алгебраическую точность m. Если выполняются равенства I(xi) = Sn(xi), i = 0, 1, ..., m, то для произвольного многочлена Pm(x) степени m также справедливо равенство I(Pm) =
Sn(Pm). Искомые коэффициенты Ck и узлы xk должны удовлетворять системе уравнений
µ0 |
≡ |
∫a b |
ρ(x) dx = C1 + C2 + ... + Cn, |
|
|
µ1 |
≡ ∫a b ρ(x)x dx = C1x1 + C2x2 + ... + Cnxn, |
|
|||
|
≡ ∫ |
b |
|
(4.6) |
|
|
|
ρ(x)x2 dx = C1x12 + C2x22 + ... + Cnxn2 |
|||
µ2 |
|
, |
a
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
∫b
µm ≡ ρ(x)xm dx = C1xm1 + C2xm2 + ... + Cnxmn .
a
47
Находить 2n неизвестных Ck и xk, k = 1, 2, ..., n как решение системы
(m + 1) уравнений (4.6) затруднительно (уже при n = 4). Число неизвестных и число уравнений у неоднородной системы (4.6) должны быть равными, значит m не может быть больше 2n − 1. Если бы были известны узлы, обеспечивающие алгебраическую точность 2n − 1, то соответствующую им формулу можно было бы построить как формулу Ньютона - Котеса. Докажем две леммы, которые помогут находить такие узлы.
Лемма 1. Пусть существуют узлы xk, k = 1, 2, . . . , n, и построенная по ним квадратурная формула Ньютона-Котеса обеспечивает алгебраическую точность 2n − 1. Тогда для произвольного многочлена Pi(x) степени i 6 n − 1 справедливо равенство
∫b
ρ(x) Pi(x) ωn(x) dx = 0,
a
∏n
где ωn(x) = (x − xk) .
k=1
Доказательство. Узлы выбраны так, что квадратурная формула точна для любого многочлена степени m 6 2n − 1. Под знаком интеграла стоит многочлен Pi(x) ωn(x) степени не более 2n − 1. Формула точна для него, и
|
b |
n |
|
|
|
a |
|
∑ |
∫ |
|
ρ(x) Pi(x) ωn(x) dx = k=1 Ck Pi(xk) ωn(xk) = 0, |
так как ωn(xk) = 0 для любого узла.
Лемма 2. Пусть для некоторого многочлена ωn(x), имеющего n различных вещественных корней на [a, b], справедливо равенство
∫b
ρ(x) Pi(x) ωn(x) dx = 0,
a
48
где Pi(x) – произвольный многочлен степени i 6 n−1. Тогда квадратурная формула Ньютона - Котеса, построенная по узлам, совпадающим с корнями многочлена ωn(x), точна для любого многочлена степени не более 2n − 1.
Доказательство. Выберем произвольный многочлен Qm(x) степени m 6
2n − 1 и представим его в виде
Qm(x) = pi(x) ωn(x) + qj(x),
где pi(x) и qj(x) многочлены степеней i 6 n − 1 и j 6 n − 1. Из условия
леммы следует, что
b |
b |
b |
∫a ρ(x) Qm(x) dx = |
∫a ρ(x) pi(x) ωn(x) dx + |
∫a ρ(x) qj(x) dx = |
|
∫b |
|
|
= ρ(x) qj(x) dx. |
|
|
a |
|
Если построить квадратурную формулу Ньютона– Котеса по n узлам xk
(корням многочлена ωn(x)), то она будет точна для многочлена qj степени j 6 n − 1
|
b |
n |
|
|
|
a |
|
∑ |
∫ |
|
ρ(x) qj(x) dx = k=1 Ck qj(xk). |
В узлах xk выполняется равенство
Qm(xk) = pi(xk) ωn(xk) + qj(xk) = qj(xk), k = 1, . . . , n.
Квадратурная формула точная для произвольного многочлена Qm(x)
степени 2n − 1 построена, действительно
|
b |
|
b |
n |
n |
|
|
|
|
||
a |
|
a |
|
∑ |
∑ |
∫ |
|
ρ(x) Qm(x) dx = ∫ |
|
ρ(x) qj(x) dx = k=1 Ck qj(xk) = k=1 Ck Qm(xk). |
Если весовая ρ(x) ≡ 1, то такие формулы называются просто формулами Гаусса.
49
где r(x) = f(2n)(ξ(x)) ∏n (x − xk)2, ξ(x) (a, b). (2n)!
k=1
Применим для вычисления интеграла I(f) квадратурную формулу Гаусса и выпишем два равенства
I(f) = I(Qn) + I(r),
Sn(f) = Sn(Qn) + Sn(r).
Из этих равенств следует, что погрешность квадратуры Гаусса
Rn(f) = I(f) − Sn(f) = (I(Qn) − Sn(Qn)) + I(r) − Sn(r).
50