Глава 3 Постановка задачи теории упругости для макроскопического и микроскопического тела

Статическая задача анизотропной теории упругости описывается системой дифференциальных уравнений

и граничными условиями

где - искомые компоненты вектора смещении;- известные компоненты вектора смещений и поверхностных нагрузок;- компоненты тензоров напряжения и упругих постоянных;- внутренние поверхности трещины или отверстия.– тензор деформаций.

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная.

Для ортотропного тела закон Гука может быть представлен в матричной форме следующим образом

В это соотношении входят 9 констант, характеризующих упругие свойства тела. Для их определения может быть решен набор статических задач для прямоугольного параллелепипеда (рис.3)

со следующими граничными условиями

1. x = l_x: σ_xx=p, σ_xy=σ_xz=0 x = 0: u_x=0, σ_xy=σ_xz=0

2. y = l_y: σ_yy=p, σ_xy=σ_yz=0 y = 0: u_y=0, σ_xy=σ_yz=0

3. …

В качестве дополнительной информации для решения задачи определения коэффициентов служит значения компонент тензора деформации, которые «измеряем» в численном эксперименте.

Рассмотрим эту задачу с точки зрения метода молекулярной динамики.Тензор жесткости простой кристаллической решетки имеет вид [11, 12]

где - радиус-вектор атома(узла) решетки(α – номер узла).– модуль.

Функция П представляет собой потенциал взаимодействия между частицами; – объем элементарной ячейки;– тензор четвертого ранга, представляющий собой тензорное произведение четырех векторов. Узлы решетки нумеруются относительно рассматриваемого атома, причем=. Согласно определенной выше формуле, тензор жесткости простой кристаллической решетки абсолютно симметричен, то есть симметричен относительно любой перестановки входящих в тетрады векторов, а стало быть, компоненты тензора жесткости симметричны относительно произвольной перестановки индексов. Если ограничиться взаимодействием только ближай-ших соседей по кристаллической решетке, то тогда формула существенно упростится

где - жесткость межатомной связи, а– норма вектора а.

Глава 4 Описание материала (ZnO)

Оксид цинка ZnO встречается в виде белого порошка, известного как минерал цинкит. Он нашел широкое применение в шинной, лакокрасочной, нефтеперерабатывающей промышленностях.

Оксид цинка – это уникальный материал, который проявляет как полупроводниковые, так и пьезоэлектрические свойства. Этот полупроводник, обладающий широкой прямой запрещённой зоной ~3.3 эВ при комнатной температуре, имеет хорошую прозрачность, высокую электронную мобильность, сильную люминесценцию при комнатной температуре. Поэтому наиболее частое применение в электронике – в лазерных диодах и светодиодах.

Оксид цинка кристаллизуется в трёх фазах: гексагональный вюрцит, кубический сфалерит, и редко встречаемая кубическая модификация поваренной соли. Наиболее часто встречаемая форма – вюрцит. Форма сфалерита может быть устойчивой при выращивании ZnO на подложках с кубической решёткой. ZnO со структурой типа поваренной соли наблюдается при относительно высоких давлениях. Гексагональная структура и структура сфалерита не обладают симметрией по отношению к инверсии. Это приводит к пьезоэлектрическим свойствам этих модификаций и пироэлектрическим свойствам гексагонального ZnO. Как и у большинства II-VI материалов, связь в ZnO преимущественно ионная, что объясняет сильные пьезоэлектрические свойства.

В последнее время широко исследуются выращенные на подложке наноиглы и наностержни ZnO. Вюрцитная структура этих наностержней имеет выделенное направление роста, что позволяет легко получать структуры высокого качества с различным диаметром и высотой. Наностержни на подложке – самая выгодная модификация для создания светодиодов микроскопических размеров. В некоторых полевых транзисторах наностержни ZnO используются как проводящие каналы. Острые окончания наноигл ZnO многократно усиливают электрическое поле. Поэтому они могут использоваться как полевые эмиттеры. Оксид цинка кристаллизуется в трёх формах: гексагональный вюрцит, кубический сфалерит, и редко встречаемая кубическая модификация поваренной соли. Наиболее чаще встречаемая форма – вюрцит. Форма сфалерита может быть устойчивой при выращивании ZnO на подложках с кубической решёткой. ZnO со структурой типа поваренной соли наблюдается при относительно высоких давлениях ~10 ГПа.

Рис. 4 – структура вюрцита

Структура вюрцита получается из гексагональной плотноупакованной решётки, состоящей из двух взаимопроникающих гексагональных решёток Браве с базисом из двух одинаковых атомов на позициях (0,0,0) и (a/2,,с/2). Структура вюрцита состоит из двух ГПУ структур с позициями t₁=(0,0,0) и t₂=(0,0,с/2), занятыми различными атомами. Для идеального тетраэдрического окружения константы a и c будут связаны друг с другом соотношением . В реальных структурах наблюдаются отклонения от этого соотношения.

Для контролируемого синтеза наноструктур необходимо установление фундаментальных взаимосвязей геометрии наноматериала с его электронной и магнитной структурами. Задача определения локальной структуры многих объектов, включая перспективные для спинтроники и нанофотоники наностержни со структурой сердцевина-оболочка разбавленных магнитных полупроводников семейства ZnO/ZnO:Mn, требует новых методик исследования, так как существующие экспериментальные методы не позволяют с высокой точностью определять трехмерное распределение атомов.