Упражнения

Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов:

1. 2.3.

4.5.6.

7. 8.9.

10. 11.12.

13. 14.15.

16. 17.18.

19. 20..

3 Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

Если , то функцияназывается абсолютно интегрируемой нав несобственном смысле, а несобственный интеграл-- абсолютно сходящимся.

Если , а, то говорят, что несобственный интегралсходится условно.

3.1 Признак Вейерштрасса (признак абсолютной сходимости).

Если , тои при этом.

3.2 Признак Дирихле.

Пусть и

а) -- локально интегрируемая функция наи

;

б) -- монотонная нафункция;

в) .

Тогда несобственный интеграл сходится.

3.3 Признак Абеля.

Пусть ,-- монотонная и ограниченная нафункция. Тогдасходится.

Рассмотрим несколько примеров, в которых применяются приведенные выше признаки для исследования на абсолютную и условную сходимость несобственные интегралы.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие несобственные интегралы.

Пример 1. .

Функция , следовательно,-- единственная особая точка. Функция не сохраняет знак на, так каки поэтомуменяет знак.

1. Исследуем рассматриваемый интеграл на условную сходимость. Для этого рассмотрим .

.

Обозначим через и.

Так как и, причемрасходится, то по признаку сравнения в непредельной форме расходится.

Покажем, что сходится, используя для этого признак Дирихле:

а)

;

б) убывает на;

в) .

Итак: , где- расходится, а- сходится. Тогда- расходится. Следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме расходится.

Отсюда следует, что расходится по признаку сравнения в пре-

дельной форме, а, значит, расходится и .

2. Исследуем сходимость , используя для этого признак Дирихле.

Пусть , а.

Тогда

а) -- локально интегрируема наи

;

б) убывает на;

в) .

Следовательно, сходится по признаку Дирихле, а так какрасходится, то исходный интеграл сходится условно.

Пример 2..

Функция , следовательно,-- единственная особая точка;не сохраняет знак на. Поэтому исследуем сначала интеграл на абсолютную сходимость.

.

расходится, так как , асходится по признаку Дирихле. Обоснуем последнее:

а) ;

б) функция убывает на;

в) .

Итак, имеем: , гдерасходится как сумма расходящегося и сходящегося интеграла. Следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме расходится. Тогда по признаку сравнения в предельной форме расходится, а, значит, расходится и. Значит, исходный интеграл не имеет абсолютной сходимости.

2. Исследуем .

Пусть . Тогда

a) -- локально интегрируема на и;

б) является суперпозицией двух функций:-- монотонно возрастающей и. Исследуем последнюю на монотонность при помощи производной:

;

в) .

Следовательно, сходится по признаку Дирихле, а, значит,=+сходится как сумма интегралов Римана и

сходящегося несобственного интеграла. И так как абсолютной сходимости нет, то сходится условно.

Пример 3. .

Функция , следовательно,--единственная особая точка. Функцияне сохраняет знак на.

1. Исследуем .

.

Так как , то по признаку сравнения в непредельной формерасходится, асходится по признаку Дирихле. Покажем последнее:

а) ;

б) функция монотонно убывает на;

в) .

Итак, , где, расходится как сумма расходящегося и сходящегося интегралов. Следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме расходится. Тогда по признаку сравнения в предельной форме расходится , а, значит ирасходится.

2. Исследуем .

Пусть .

сходится по признаку Дирихле, так как

а) ;

б) убывает на;

в) .

Функция возрастает наи ограничена, так как.

Следовательно, сходится по признаку Абеля, и так как абсолютной сходимости нет, то сходится условно.

Пример 4..

Функция , поэтому-- единственная особая точка; функция не сохраняет знак на.

1. Исследуем сходимость .

.

Очевидно, что расходится, так как это сумма расходящегося ин-

тегралаи сходящегося по признаку Дирихле.

Обоснуем последнее утверждение:

а) ;

б) монотонно убывает на;

в) .

Следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме расходится , а, значит, по признаку сравнения в предельной форме расходитсяи вместе с ним.

2. Исследуем сходимость .

Заметим, что использовать для исследования признак Дирихле не представляется возможным, так как функция не является монотонной. Поэтому исследование проведем, используя формулу Тейлора:

(здесь мы учли, что , поэтому такое разложение имеет место).

Разобьем исходный интеграл на сумму трех интегралов:

.

Заметим, что во всех интегралах суммы точка не является особой, так как подынтегральная функция ограничена в правосторонней окрестности точки.

Первый интеграл этой алгебраической суммы сходится по признаку Дирихле, так как монотонно стремится к нулю при, а.

Второй интеграл также сходится по признаку Дирихле, так как

а)

;

б) функция , монотонно убывая, стремится к нулю при.

Третий интеграл сходится абсолютно, так как

.

Следовательно, из сходимости по признаку сравнения в непредельной форме следует сходимость. Тогда по признаку сравнения в предельной форме сходится и третий интеграл, составляющий рассматриваемую сумму. Значит,сходится как сумма интеграла Римана и исследованного интеграла.

Пример 5. .

Функция , в точкефункция не определена. Заметим, что для исследования интеграла удобнее сделать замену переменной( все условия для проведения такой замены соблюдены), тогда

.

Нетрудно видеть, что поведение подынтегральной функции более «прозрачно» и привычно для нас в плане исследования.

Заметим, что , следовательно,-- единственная особая точка, функцияне сохраняет знак на.

1. Исследуем .

.

Так же, как это было сделано в предыдущих примерах нетрудно показать,

что -- расходится, асходится по признаку Дирихле. Следовательно, расходится, а, значит, расходится и.

2. Исследуем .

а) ;

б) Покажем, что функция монотонна.

при

(корни квадратного трехчлена в числителе ). Следовательно,монотонно убывает на.

в) .

Отсюда следует, что сходится условно (так как нет абсолютной сходимости).

Пример 6. .

Функция , следовательно,-- единственная особая точка, функция не сохраняет знак на.

Исследуем .

.

Рассмотрим .

То есть сходится по определению, следовательно,сходится по признаку сравнения в непредельной форме. А, значит,=-- сходится как сумма интеграла Римана и рассмотренного несобственного интеграла. Следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.