2.3 Следствие
Если в условиях второго признака сравнения , то есть , то указанные несобственные интегралы сходятся или расходятся одновременно.
На практике применение признаков сравнения часто приводит изучение сходимости рассматриваемого интеграла к эталонным несобственным интегралам, о которых известно следующее:
сходится при и расходится при.
сходится при и расходится при.
Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов.
Пример 1.
Функция , следовательно,-- единственная особая точка..
.
Так как , тосходится, а, следовательно, по признаку сравнения в предельной форме исходный интеграл сходится.
Пример 2.
Функция , следовательно,-- единственная особая точка..
.
Исследуем на сходимость интеграл от функции по определению.,
следовательно, сходится по определению, тогда по признаку сравнения в предельной формесходится.
Пример 3
Функция , в точкахифункция не определена. Исследуем поведение функции в односторонних окрестностях этих точек:
1) , то есть в левосторонней окрестностифункция ограничена, следовательно,-- не является особой точкой.
2) . Поэтому в окрестности(правосторонней) точкифункция не ограничена, а значит--особая точка функциина.
Так как , то рассмотрим функцию.
, где --любое положительное число.
Чтобы применить признак сравнения в непредельной форме, выберем , например, тогдаисходится, тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится, а по признаку сравнения в предельной форме сходится, а, следовательно, и.
Пример 4.
Функция . В точкефункция не определена. Рассмотрим. Следовательно, в правосторонней окрестности точкифункция не ограничена, а это значит, что-- особая точка. Следовательно, интеграл имеет две особые точки:и.
Представим исходный интеграл в виде суммы:
.
Пусть и.
Исследуем сходимость :--единственная особая точка,
и .
Так как , тосходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной формесходится.
Исследуем сходимость :.
.
Так как , тосходится. Тогда по признаку сравнения в предельной формесходится. Учитывая все эти рассуждения, получим, что исходный интеграл сходится как сумма двух сходящихся интегралов.
Пример 5. .
Функция , поэтому-- единственная особая точка.,
.
Так как , то-сходится, следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме сходится. А значит по признаку сравнения в предельной форме сходится.
Пример 6. .
Функция , она не определена прии, следовательно--единственная особая точка.,
.
Здесь мы применили разложение по формуле Тейлора функций . Так как, то- расходится, поэтому по признаку сравнения в предельной форме расходится.
Пример 7. .
Функция , поэтому-- единственная
особая точка. и
Так как , то--сходится, следовательно, по признаку сравнения в предельной форме сходится.
Пример 8. .
Функция , в точкефункция не определена и. Следовательно,и-- особые точки.
Представим исходный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
Пусть и.
Исследуем сходимость :-- единственная особая точка,, так каки поэтому,
, то есть . Так как, то-сходится, а по признаку сравнения в предельной форме-сходится.
Исследуем сходимость :
- единственная особая точка, ,
.
Так как , то--сходится, поэтому по признаку сравнения в предельной формесходится. Тогда исходный интеграл сходится как сумма двух сходящихся интегралов.
Пример 9..
Функция , в точкефункция не определе-
на, но .
Значит, не является особой точкой, и-- единственная особая точка.(в точкефункция доопределена по закону непрерывности).
.
Так как , то--сходится. Тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится, который влечет за собой в силу признака сравнения в предельной форме сходимость.
Пример 10..
Функция , поэтому-единственная особая точка., так каки поэтому.
.
Так как , то--сходится. Тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной форме сходится исходный интеграл.
Пример 11..
Функция , следовательно-единственная особая точка., так каки поэтому.
.
Так как -- расходится, то по признаку сравнения в непредельной форме расходится. Следовательно,расходится по признаку сравнения в предельной форме.
Пример 12. .
Функция , следовательно,-единственная особая точка., так как.
Тогда и
.
Рассмотрим .
Следовательно, -- сходится. Тогда по признаку сравнения в предельной форме сходится, а, значит, и-- сходится.