2.3 Следствие

Если в условиях второго признака сравнения , то есть , то указанные несобственные интегралы сходятся или расходятся одновременно.

На практике применение признаков сравнения часто приводит изучение сходимости рассматриваемого интеграла к эталонным несобственным интегралам, о которых известно следующее:

сходится при и расходится при.

сходится при и расходится при.

Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов.

Пример 1.

Функция , следовательно,-- единственная особая точка..

.

Так как , тосходится, а, следовательно, по признаку сравнения в предельной форме исходный интеграл сходится.

Пример 2.

Функция , следовательно,-- единственная особая точка..

.

Исследуем на сходимость интеграл от функции по определению.,

следовательно, сходится по определению, тогда по признаку сравнения в предельной формесходится.

Пример 3

Функция , в точкахифункция не определена. Исследуем поведение функции в односторонних окрестностях этих точек:

1) , то есть в левосторонней окрестностифункция ограничена, следовательно,-- не является особой точкой.

2) . Поэтому в окрестности(правосторонней) точкифункция не ограничена, а значит--особая точка функциина.

Так как , то рассмотрим функцию.

, где --любое положительное число.

Чтобы применить признак сравнения в непредельной форме, выберем , например, тогдаисходится, тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится, а по признаку сравнения в предельной форме сходится, а, следовательно, и.

Пример 4.

Функция . В точкефункция не определена. Рассмотрим. Следовательно, в правосторонней окрестности точкифункция не ограничена, а это значит, что-- особая точка. Следовательно, интеграл имеет две особые точки:и.

Представим исходный интеграл в виде суммы:

.

Пусть и.

Исследуем сходимость :--единственная особая точка,

и .

Так как , тосходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной формесходится.

Исследуем сходимость :.

.

Так как , тосходится. Тогда по признаку сравнения в предельной формесходится. Учитывая все эти рассуждения, получим, что исходный интеграл сходится как сумма двух сходящихся интегралов.

Пример 5. .

Функция , поэтому-- единственная особая точка.,

.

Так как , то-сходится, следовательно, по признаку сравнения в непредельной форме сходится. А значит по признаку сравнения в предельной форме сходится.

Пример 6. .

Функция , она не определена прии, следовательно--единственная особая точка.,

.

Здесь мы применили разложение по формуле Тейлора функций . Так как, то- расходится, поэтому по признаку сравнения в предельной форме расходится.

Пример 7. .

Функция , поэтому-- единственная

особая точка. и

Так как , то--сходится, следовательно, по признаку сравнения в предельной форме сходится.

Пример 8. .

Функция , в точкефункция не определена и. Следовательно,и-- особые точки.

Представим исходный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:

Пусть и.

Исследуем сходимость :-- единственная особая точка,, так каки поэтому,

, то есть . Так как, то-сходится, а по признаку сравнения в предельной форме-сходится.

Исследуем сходимость :

- единственная особая точка, ,

.

Так как , то--сходится, поэтому по признаку сравнения в предельной формесходится. Тогда исходный интеграл сходится как сумма двух сходящихся интегралов.

Пример 9..

Функция , в точкефункция не определе-

на, но .

Значит, не является особой точкой, и-- единственная особая точка.(в точкефункция доопределена по закону непрерывности).

.

Так как , то--сходится. Тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится, который влечет за собой в силу признака сравнения в предельной форме сходимость.

Пример 10..

Функция , поэтому-единственная особая точка., так каки поэтому.

.

Так как , то--сходится. Тогда по признаку сравнения в непредельной форме сходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной форме сходится исходный интеграл.

Пример 11..

Функция , следовательно-единственная особая точка., так каки поэтому.

.

Так как -- расходится, то по признаку сравнения в непредельной форме расходится. Следовательно,расходится по признаку сравнения в предельной форме.

Пример 12. .

Функция , следовательно,-единственная особая точка., так как.

Тогда и

.

Рассмотрим .

Следовательно, -- сходится. Тогда по признаку сравнения в предельной форме сходится, а, значит, и-- сходится.